Specific impulse/fr

L'impulsion spécifique (généralement écrite I_sp, ou dans le jeu comme ISP) définit l'efficacité d'un moteur. Il s'agit de la poussée par rapport à la consommation de carburant. On peut aussi dire que c'est la variation de quantité de mouvement par rapport à la quantité de carburant consommée. Elle peut être exprimée en durée ou en vitesse (généralement en secondes et en mètres par seconde), selon que le carburant soit mesuré par sa masse ou par son poids terrestre (9.80665 m/s² ; notez que la gravité sur Kerbin est légèrement différente : 9.81 m/s²).

Si un moteur à une impulsion spécifique $I_{sp,g_{0}}$ (en secondes) génére $F$ newtons de poussée, le carburant qu'il brûle chaque seconde pèsera ${\frac {F}{I_{sp,g_{0}}}}$ newtons sur la Terre (la planète dont le $g_{0}$ est utilisé pour convertir l'unité d'impulsion spécifique en secondes). Si l'impulsion spécifique est donnée sous la forme $I_{sp}$ (en m/s) alors le moteur brûlera ${\frac {F}{I_{sp}}}$ kilogrammes de carburant chaque seconde.

Formules

Définition

I_{sp}={\frac {F_{T}}{\dot {m}}}

Où :

L' $I_{sp}$ est l'impulsion spécifique en m/s
$F_{T}$ la poussée en N
${\dot {m}}$ la consommation de carburant en kg/s

En multipliant cette valeur avec g₀, il est posible de changer l'unité en secondes seulement, ce qui évite les problèmes de conversion entre le SI et les unités habituelles. La valeur g₀ se comporte comme un facteur de conversion et ne change pas losque la gravité subbit par le vaisseau change. Habituellement, les deux valeurs sont appelées impulsion spécifique et sont abrégées par I_sp. Le nom I_sp,g₀ est utilisé ici uniquement pour préciser que les deux valuers ne sont pas identiques.

I_{sp,g_{0}}={\frac {F_{T}}{{\dot {m}}\cdot g_{0}}}={\frac {I_{sp}}{g_{0}}}

Où :

$I_{sp,g_{0}}$ est l'impulsion spécifique en secondes
$g_{0}$ est la gravité de surface dans l'unité requise (exactement 9,80665 m/s²)

Les formules l'utilisant (par exemple pour le Δv) doivent préciser l'unité.

Plusieurs moteurs

L'impulsion spécifique combinée de plusieurs moteurs est calculée par la formule suivante :

I_{sp}={\frac {\sum \limits _{i}F_{T_{i}}}{\sum \limits _{i}{\dot {m}}_{i}}}={\frac {\sum \limits _{i}F_{T_{i}}}{\sum \limits _{i}{\frac {F_{T_{i}}}{I_{sp_{i}}}}}}

Où :

$I_{sp}$ est l'impulsion spécifique en m/s
$I_{sp_{i}}$ est l'impulsion spécifique de chaque moteur en m/s
$F_{T_{i}}$ est la poussée de chaque moteur en N
${\dot {m}}$ est la consommation de carburant en kg/s

Lorsque la consommation de carburant n'est pas utilisée dans cette formule, il est seulement important que toutes les valeurs de poussée aient la même unité (par exemple : kN) et que l'impulsion spécifique ait la même unité (par exemple : s). Le résultat est alors dans la même unité que les impulsions spécifiques des moteurs. Si tous les moteurs ont la même impulsion spécifique, l'impulsion spécifique resultante sera la même.

Le résultat est équivalent à la moyenne pondérée des impulsions spécifiques des moteurs, pondérée par la poussée de chaque moteur.

Relation avec l'altitude

Dans la plupart des cas, l'impulsion spécifique est presque linéairement liée à la pression (unité : atm) dans KSP :

$I_{sp}=I_{sp,vac}+(I_{sp,atm}-I_{sp,vac})\cdot P$

Et si la consommation de carburant est constante, cela nous permet d'écrire la même chose pour la poussée :

$T=T_{vac}+(T_{atm}-T_{vac})\cdot P$

Contexte physique

Dans KSP avant la 1.0, la consommation de carburant de la plupart des moteurs dépendait de la pression atmosphérique avec la consommation la plus faible (et donc l'impulsion spécifique la plus élevé) dans le vide. Dans le monde réel, cette situation est généralement inversée : la consommation reste toujours la même, mais la poussée augmente avec le temps, car il est plus facile d'avoir une débit de carburant régulier. C'est ainsi (d'une manière plus réaliste) que KSP se cmporte depuis la 1.0. Puisque la poussée est plus élevée pour une même consommation, l'impulsion spécifique augmente. L'impulsion spécifique ne peut être calculer à l'aide de cette méthode que pour les moteurs de fusées, mais pas pour les moteurs d'avions, car ceux ci fonctionnent selon un autre principe (l'oxydant est prélevé dans l'atmosphère plutôt que transporté avec le véhicule, ce qui réduit à la fois la masse de l'engin donc la masse à accélérer).

Bien que l'unité de l'impulsion spécifique soit une vitesse, elle est généralement inférieure à la vitesse d'échappement, car une partie du carburant consommé n'est pas utilisée pour la propulsion directe, mais afin d'alimenter les turbopompes.

Facteur de conversion

Afin de convertir l'impulsion spécifique (I_{sp, g₀}, m/s) en impulsion spécifique pondéral (I_sp, s), il faut utiliser g₀.

Exemple

Le kerbal x est équipé de six LV-T45 Liquid Fuel Engine avec une I_sp de 320 s, dans l'atmoshère est un Propulseur à ergol liquide RE-M3 "Grand-voile" avec une impulsion spécifique de 280 s. L'I_sp moyenne de tous les moteurs est alors:

I_{sp}={\frac {6\cdot 200{\text{kN}}+1500{\text{kN}}}{6\cdot {\frac {200{\text{kN}}}{320{\text{s}}}}+{\frac {1500{\text{kN}}}{280{\text{s}}}}}}=296.47{\text{s}}

Pour convertir cette valeur en une valeur physique utilisable

I_{sp}=g_{I_{sp}}\cdot 296.47{\text{s}}=2911.34{\frac {\text{m}}{\text{s}}}

Cette valeur peut ensuite être utiliser pour calculer la consommation de carburant :

{\begin{aligned}I_{sp}&={\frac {6\cdot 200{\text{kN}}+1500{\text{kN}}}{\dot {m}}}=2907.38{\frac {\text{m}}{\text{s}}}\\{\dot {m}}&={\frac {6\cdot 200000{\text{N}}+1500000{\text{N}}}{2907.38{\frac {\text{m}}{\text{s}}}}}\\&=928.7{\frac {\text{kg}}{\text{s}}}\end{aligned}}

Puisque les moteurs utilisent du combustible liquide et de l'oxidant d'une densité de 5000 kg/m³, il est possible de calculer le volume consommé.

{\dot {V}}={\frac {\dot {m}}{\rho }}={\frac {927.4{\frac {\text{kg}}{\text{s}}}}{5000{\frac {\text{kg}}{{\text{m}}^{3}}}}}=0.185{\frac {{\text{m}}^{3}}{\text{s}}}=185{\frac {\text{l}}{\text{s}}}

Bien sûr, ces valeurs de l'engin sont valables pour l'atmosphère de Kerbin. En raison de la configuration des étages, les moteurs seront lâchés jusqu'à ce qu'ils atteignent le vide, ce qui modifiera à nouveau leur efficacité. Cette fois-ci, le rendement diminue, car les moteurs les plus efficaces tombent en premier, ne laissant que le moteur Grande-Voile avec le rendement le plus faible de tous les moteurs du véhicule.

Comparaison des moteurs

Comme les différents moteurs ont des masses différentes, la simple comparaison de leur impulsion spécifique n'est parfois pas suffisante.

Cependant, nous pouvons améliorer la comparaison en utilisant l'énergie totale (travail) que le moteur produit.

Définition : $F=I_{sp}{\dot {m_{f}}}$
Durée totale de combustion ( $m_{f}$ est la masse totale de carburant (fuel)) : $t_{max}=m_{f}{\frac {I_{sp}}{F}}$
Troisième loi de Newton : ${\frac {dv}{dt}}m=F$ , où la masse a maintenant trois composantes : masse de la Charge utile (playload) + masse du moteur (engine) + masse du carburant ( $m_{p}+m_{e}+m_{f}$ ), nous pouvons les intégrer afin d'obtenir :

$v(t)=I_{sp}\log \left({\frac {\left(m_{p}+m_{e}+m_{f}\right)}{\left(m_{p}+m_{e}+m_{f}\right)-{\frac {F}{I_{sp}}}t}}\right)\,\,0<t\leq m_{f}{\frac {I_{sp}}{F}}$ (Notez que nous ne considérons ici aucun champ gravitationnel) (C'est une version de l'équation dite de la fusée idéale).

Avec ce qui précède, nous pouvons calculer le travail total effectué :

$W=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F\cdot dr=\int _{0}^{t_{max}}F{\frac {dr\left(t\right)}{dt}}dt=F\int _{0}^{t_{max}}v\left(t\right)dt$

Ou :

$W=I_{sp}^{2}\left(m_{f}+(m_{p}+m_{e})\log \left({\frac {m_{p}+m_{e}}{m_{p}+m_{e}+m_{f}}}\right)\right)$

Avec cette formule nous pouvons comparer les moteurs. Plus W est élevé, mieux c'est, car le travail peut être converti soit en énergie potentielle (la distance du corps gravitationnel), soit en énergie cinétique (la vitesse).

Par exemple, pour le même véhicule, d'une masse donnée $m_{p}$ , nous pouvons comparer une seul moteur Jean-Yves ( $I_{sp}=350s$ , $m_{e}=1,75t$ , $F=250kN$ ), à quatre moteurs nucléaires ( $I_{sp}=800s$ , $m_{e}=3*4=12t$ , $F=60*4=240kN$ ). Pour un petit véhicule (disons $m_{p}=1t,m_{f}=10t$ ), le moteur nucléaire est meilleur (c'est-à-dire le rapport des travaux W) par un facteur de 4. Avec plus de carburant $m_{p}=1t,m_{f}=20t$ , il passe à 4.5. En augmentant la charge utile (par exemple m_p = 10 t), ce rapport pase à 4,9 (soit presque 5 fois mieux). Un cas plus intéressant est celui du 48-7S ( $I_{sp}=320s$ , $m_{e}=0.13t$ , $F=20kN$ ) contre le LV-909 ( $I_{sp}=345s$ , $m_{e}=0,5t$ , $F=60kN$ ), deux petits moteurs. Même avec un $I_{sp}$ , le LV-909 est moins efficace que le 48.7S. En effet, sa masse est (à peu près) 4 fois plus élevée que celle du 48-7S, ce qui n'est pas compensé par l'augmentation de seulement ~10% $I_{sp}$ . Bien sûr, en quittant un corps gravitationnel, la poussée F doit pouvoir compenser l'attraction gravitationnelle. Cela ajoute naturellement une contrainte au choix des moteurs (c'est-à-dire que le Système de propulsion électrique IX-6315 "Aube" est le propulseur le plus efficace mais il n'est pas capable de se soulever, encore moins de transporter du carburant et une charge utile autour de Kerbin).