Tutoriel : mécanique orbitale de base

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Aller dans l'espace est relativement simple, mais y rester sans retomber au sol ou dériver sans fin dans l'espace est une autre paire de manches. Ce tutoriel vous expliquera comment procéder à une mise en orbite et à y rester, comment circulariser votre orbite ou créer une orbite elliptique et comment diminuer ou augmenter votre orbite.

Stabiliser une orbite

Lors d'une orbite, votre vaisseau va atteindre une altitude maximale, l''apoastre, et une altitude minimale, le périastre, diamétralement opposés l'un à l'autre. En ces deux points, la vitesse verticale (par rapport à la surface) est nulle, on peut donc aisément calculer notre vitesse orbitale (qui est la même que la vitesse surface). C'est en ces deux endroits qu'il est le plus facile (et le moins coûteux en carburant) de faire des corrections de trajectoire afin de modifier l'orbite. La différence d'altitude entre périastre et apoastre est caractérisée par l'excentricité de l'orbite. Une orbite très circulaire a une excentricité nulle et une orbite très elliptique a une excentricité proche de 1.

Vous trouverez facilement des calculateurs qui vous permettent de calculer tous les paramètres orbitaux et le dont vous avez besoin pour vos manœuvres. que vous utilisiez un calculateur ou que vous calculiez vos orbites à la main, le mode opératoire est le même que celui explosé ci-dessous.

Vous pouvez calculer votre vitesse en tout point de l'orbite par la formule suivante :

  • est un paramètre gravitationnel du corps orbité (3530,461 km³/s² pour Kerbin).
  • est la constante gravitationnelle ().
  • est la masse du corps orbité.
  • est votre distance au centre du corps que vous orbitez (c'est-à-dire la somme du rayon de la planète et de votre altitude)
  • est le demi-grand axe de votre orbite (qui est la demi-somme des altitudes de vos périastre et apoastre et du diamètre de la planète).

Plus votre altitude est grande, moins vous êtes attirés par Kerbin (le corps orbité), moins votre vitesse doit être élevée pour rester dans une orbite circulaire. Vous pouvez calculer la vitesse appropriée à l'apoastre ou périastre de votre ellipse pour obtenir une orbite circulaire à cette altitude. Connaissant votre vitesse effective à ce point de votre ellipse, vous pouvez calculer de combien vous devez modifier votre vitesse pour obtenir une orbite circulaire. Pour ce faire, vous pouvez utiliser la formule ci-dessus, un calculateur ou une table (voir en fin d'article).

Rappelez-vous qu'en effectuant une manœuvre à une des extrémités de l'orbite, vous entraînerez une changement d'altitude de l'autre extrémité. Par exemple, si vous êtes au périastre (au plus bas, vitesse maximale) et que vous poussez dans la direction pro-grade (pour prendre de la vitesse), l'apoastre va prendre de l'altitude. Au contraire si vous poussez dans la direction rétrograde, votre apoastre va baisser.

En pratique, pour circulariser votre orbite depuis l'apoastre, vous devez prendre de la vitesse. Pointez le nez de la fusée dans la direction pro-grade (cible jaune sans la croix sur la Navball) et allumez les moteurs. Appuyez sur "M" pour passer en mode carte et surveiller l'évolution de votre périastre (qui est en train de monter). Quand apoastre et périastres s'inversent sur votre orbite, coupez les moteurs (touche "X"). Votre orbite est maintenant circulaire. Le moment ou les points s'inversent est très court, entraînez-vous à couper les moteurs au bon moment. Au contraire si vous voulez circulariser votre orbite depuis le périastre, vous devrez perdre de la vitesse. Orientez le vaisseau dans la direction rétrograde (cible jaune avec croix centrale) et effectuez la même opération. Il est périlleux d'effectuer cette manœuvre en un autre point quelconque de l'orbite car cela va modifier à la fois votre apoastre et votre périastre. Par ailleurs, lors de l'injection en orbite de Kerbin, la poussée est très longue et ne peut se faire uniquement à l'apoastre, ce qui entraîne une difficulté à faire une orbite ronde du premier coup. Néanmoins, si vous calculez la vitesse que vous voulez attendre, vous pouvez laisser vos moteurs allumés jusqu'à être à la bonne vitesse et vous garantir un orbite ronde (si vous êtes pile à la bonne altitude, bonne chance).

Orbite de transfert

La manière la plus efficace de passe d'une orbite circulaire à une autre orbite circulaire plus élevée (ou plus basse) est d'utiliser une orbite de transfert elliptique, appelée orbite de Hohmann. Le principe est de modifier notre orbite initiale afin que l'altitude de l'autre extrémité vaille le rayon de l'orbite finale. Ensuite, on patiente jusqu'à atteindre ce point, où on circularise l'orbite. Par exemple pour passer d'une orbite de 100 km à une orbite de 200 km, on effectue une poussé pro-grade et on fait monter notre apoastre à 200 km. Lorsqu'on atteint ce nouvel apoastre, on effectue une autre poussée pro-grade pour faire monter notre périastre à 200 km. Le principe est le même, bien qu'inversé, pour passer à orbite circulaire moins élevée.

Vitesse cible

La clé des orbites de transfert est de connaître la vitesse qu'il faut prendre ou perdre (le ) pour atteindre l'altitude désirée. Pour ce faire, on utilise cette formule, qui découle directement de la formule donnée plus haut.

et sont les rayons des orbites initiale et finale.

La différence entre votre vitesse actuelle et la vitesse calculée vous donne directement le (négatif ou positif) à appliquer pour passer sur l'orbite de transfert. Rappelez-vous que vous devrez refaire une poussée à la fin du transfert. Le de cette manœuvre se calcule grâce à la même première formule. On note que dans ce cas, la formule peut être simplifiée car on recherche la vitesse d'une orbite circulaire (constante) et dans ce cas, et la formule devient

Faites attention aux unités. Si vous utilisez les unités standards pour (des ) ne mettez pas en , mais bien en , sinon vous obtiendrez une réponse complètement fausse. Vous pouvez transformer toutes vos valeurs en utilisant des kilomètres et, par exemple, des heures, et vous obtiendrez une valeur de en au lieu de . Une façon simple de savoir si tout est correct est de vérifier si vos résultats ont un sens. La vitesse orbitale autour de Kerbin (LKO) est d'environ . Si vous trouvez ou , il y a un problème quelque part...

Pensez aussi toujours que quand on parle de rayon d'orbite, on parle de distance au centre du corps orbité, ce qui représente la somme du rayon du corps et de l'altitude de l'orbite.

Désorbitation

La manière la plus simple et la plus économique de se désorbiter depuis n'importe quelle altitude est d'injecter le véhicule sur une orbite de transfert descendante dont le périastre est inférieur à 70 000 m (c'est-à-dire dans l'atmosphère de Kerbin, qui diffère évidement en fonction des planètes). Mais comme l'atmosphère est très fine à haute altitude, la traverser ne vous fera pas ralentir assez que pour abaisser suffisamment votre apoastre en un seul passage et plusieurs orbites seront nécessaires pour vous désorbiter. Si vous êtes à court de carburant ou si vous avez le temps (sonde non habitée, par exemple), c'est un très bon compromis. Si vous voulez vous désorbiter en un seul passage, visez plutôt une altitude sous les 30 000 m, ce qui vous coûtera plus de carburant.

Si vous voulez vous poser sur un corps dépourvu d'atmosphère (comme la Mun), vous devrez ramener l'altitude de votre périastre à zéro sous peine de reprendre de l'altitude aussitôt, puis freiner avec vos moteurs pour ne pas percuter la surface à une vitesse suicidaire (sauf si c'est ce que vous cherchez).

Code R pour planifier une orbite de transfert de hohmann

   hohmann <- function(from_alt,to_alt){
     # provides information needed to perform
     # a hohmann transfer from a circular ortbit
     # at from_alt (km) to a circular orbit at to_alt (km)
     mu  <- 3530.394     # Gravitational parameter (km^3/s^2)
     R   <- 600          # Kerbin radius (km)
     r1  <- from_alt+R   # radius 1 (km)
     r2  <- to_alt+R     # radius 2 (km)
     vc1 <- sqrt(mu/r1)  # circular orbit velocity 1 (km/s)
     vc2 <- sqrt(mu/r2)  # circular orbit velocity 2 (km/s)
     a   <- (r1+r2)/2    # semi-major axis of transfer orbit (km)
     T   <- 2*pi*sqrt((a^3)/mu)  # period of transfer orbit (s)
     dv1 <- (sqrt(r2/a)-1)*vc1   # delta v1 (km/s)
     dv2 <- (1-sqrt(r1/a))*vc2   # delta v2 (km/s)
     b1  <- list(from=vc1,to=vc1+dv1) # burn one from-to velocities (km/s)
     t   <- T/2          # time between burns (s)
     b2  <- list(from=vc2+dv2,to=vc2) # burn two from-to velocities (km/s)
     out <- list(from_alt=from_alt,b1=b1,t=t,b2=b2,to_alt=to_alt)
   return(out)}

Exemple

Voici un graphe montrant les vitesses nécessaires pour passer de différentes altitudes d'orbite circulaire à des orbites de ré-entrée.

plot(100*1:40,1000*hohmann(100*1:40,34)$b1$to,main="Landing speeds",xlab="altitude (km)",ylab="speed (m/s)")

Landingspeeds.png

Lien vers le R Project (en) [1]

Table des vitesses orbitales autour de Kerbin

Note : l'atmosphère de Kerbin présentait auparavant un limite nette à 34,5 km d'altitude mais s'étend actuellement jusqu'environ 68 km. Sous cette altitude, votre orbite va se dégrader graduellement. La dégradation devient rapide sous les 45 km. Les orbites inférieures à 68 km sont données à titre d'information mais ne peuvent évidement être maintenues sans corrections régulière pour maintenir la vitesse orbitale déteriorée par la traînée atmosphérique.


Altitude (m) Vitesse horizontale (m/s) Période orbitale (min)
40 000 2348,7 28,54
50 000 2330,6 29,21
60 000 2312,8 29,88
70 000 2295,5 30,56
80 000 2278,6 31,25
85 000 2270,3 31,60
90 000 2262,0 31,94
10 0000 2245,8 32,64
110 000 2229,9 33,34
120 000 2214,4 34,05
130 000 2199,2 34,76
140 000 2184,3 35,48
150 000 2169,6 36,20
160 000 2155,3 36,93
170 000 2141,3 37,66
180 000 2127,5 38,39
190 000 2114,0 39,13
200 000 2100,7 39,88
210 000 2087,7 40,63
220 000 2075,0 41,38
230 000 2062,4 42,14
240 000 2050,1 42,91
250 000 2038,0 43,68
260 000 2026,1 44,45
270 000 2014,5 45,23
280 000 2003,0 46,01
290 000 1991,7 46,79
300 000 1980,6 47,59
310 000 1969,7 48,38
320 000 1959,0 49,18
330 000 1948,4 49,98
340 000 1938,0 50,79
350 000 1927,8 51,61
360 000 1917,7 52,42
370 000 1907,8 53,24
380 000 1898,0 54,07
390 000 1888,4 54,90
400 000 1879,0 55,73
410 000 1869,6 56,57
420 000 1860,5 57,41
430 000 1851,4 58,26
440 000 1842,5 59,11
450 000 1833,7 59,96
460 000 1825,0 60,82
470 000 1816,5 61,69
480 000 1808,0 62,55
490 000 1799,7 63,42
500 000 1791,5 64,30
510 000 1783,4 65,18
520 000 1775,5 66,06
530 000 1767,6 66,95
540 000 1759,8 67,84
550 000 1752,1 68,73
560 000 1744,6 69,63
570 000 1737,1 70,53
580 000 1729,7 71,44
590 000 1722,4 72,35
600 000 1715,3 73,26
610 000 1708,2 74,18
620 000 1701,1 75,10
630 000 1694,2 76,03
640 000 1687,4 76,96
650 000 1680,6 77,89
660 000 1673,9 78,83
670 000 1667,3 79,77
680 000 1660,8 80,71
690 000 1654,3 81,66
700 000 1648,0 82,61
710 000 1641,7 83,56
720 000 1635,4 84,52
730 000 1629,3 85,48
740 000 1623,2 86,45
750 000 1617,2 87,42
760 000 1611,2 88,39
770 000 1605,3 89,37
780 000 1599,5 90,35
790 000 1593,7 91,33
800 000 1588,0 92,32
810 000 1582,4 93,31
820 000 1576,8 94,31
830 000 1571,3 95,30
840 000 1565,8 96,31
850 000 1560,4 97,31
860 000 1555,0 98,32
870 000 1549,7 99,33
880 000 1544,5 100,35
885 000 1541,9 100,86
890 000 1539,3 101,37
900 000 1534,2 102,39
910 000 1529,1 103,41
920 000 1524,0 104,44
930 000 1519,1 105,47
940 000 1514,1 106,51
950 000 1509,2 107,55
960 000 1504,4 108,59
970 000 1499,6 109,64
980 000 1494,8 110,69
990 000 1490,1 111,74
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