Difference between revisions of "Geosynchronous Orbit (Math)/ru"

Latest revision as of 19:52, 16 September 2014

This page or section is in need of being brought up to date. Please help Kerbal Space Program Wiki by fixing inaccurate or outdated information. * Это больше похоже на руководство, страница должна быть перемещена? Даже если нет, она должна быть либо слита со страницей "Стационарная орбита" или перемещена на Синхронная орбита (математические выкладки). Эта формула работает для всех (круговых) орбит, так как t не задано; a - SMA - радиус тела.

Формулы

Так, чтобы вычислить геостационарную орбиту вокруг любого заданного тела, мы должны сначала задать уравнение с силой тяжести и центростремительной силой. Сила тяжести равна:

${\displaystyle F_{G}={\frac {G\cdot M_{1}\cdot M_{2}}{r^{2}}}}$, где

• G - гравитационная константа (${\displaystyle 6.67384\cdot 10^{-11}{\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}}}$);
• M₁ - масса тела;
• M₂ - масса спутника;
• r - расстояние между центрами масс планеты и спутника.

Теперь, поскольку на геостационарной орбите гравитационная сила совпадает с центростремительной силой, мы можем поместить их в противоположные части уравнения:

${\displaystyle F_{G}={\frac {G\cdot M_{1}\cdot M_{2}}{r^{2}}}=M_{2}\cdot {\frac {v^{2}}{r}}=F_{C}}$

Массы спутника уравновешиваются, таким образом, у нас остается:

${\displaystyle {\frac {G\cdot M_{1}}{r^{2}}}={\frac {v^{2}}{r}}}$

Так, независимо от величины Вашего спутника, геостационарная высота будет той же самой.

Мы знаем, что скорость равна расстоянию, деленному на время. В этом случае расстояние - окружность Вашей орбиты, которая является 2Πr, а время в данном случае - Ваш орбитальный период, или одни сутки для небесного тела. Итак, теперь мы имеем:

${\displaystyle v={\frac {2\cdot \pi \cdot r}{t}}}$

Но мы имеем дело с согласованной скоростью, таким образом, мы согласовываем наше уравнение и получаем:

${\displaystyle v^{2}={\frac {4\cdot \pi ^{2}\cdot r^{2}}{t^{2}}}}$

Включая то, что ранее в оригинальном уравнение, мы получаем:

${\displaystyle {\frac {G\cdot M_{1}}{r^{2}}}={\frac {4\cdot \pi ^{2}\cdot r^{2}}{t^{2}\cdot r}}}$

r² сокращается с r в знаменателе и становится простым r. Таким образом, мы имеем:

${\displaystyle {\frac {G\cdot M_{1}}{r^{2}}}={\frac {4\cdot \pi ^{2}\cdot r}{t^{2}}}}$

Теперь мы умножаем на r²:

${\displaystyle G\cdot M_{1}={\frac {4\cdot \pi ^{2}\cdot r^{3}}{t^{2}}}}$

И умножаем на t²/4π²:

${\displaystyle r^{3}={\frac {G\cdot M_{1}\cdot t^{2}}{4\cdot \pi ^{2}}}}$

И взяв кубический корень от этого, мы достигаем нашего ответа (хорошо, приводим в порядок):

${\displaystyle r={\sqrt[{3}]{\frac {G\cdot M_{1}\cdot t^{2}}{4\cdot \pi ^{2}}}}}$

Помните, что r - расстояние от центра масс планеты до этого спутника? Хорошо, оказывается, что в отличие от спутников, центр массы планеты достаточно далеко от ее поверхности:

${\displaystyle a={\sqrt[{3}]{\frac {G\cdot M_{1}\cdot t^{2}}{4\cdot \pi ^{2}}}}-R_{p}}$, где

• ${\displaystyle a}$ - высота над уровнем моря планеты;
• ${\displaystyle R_{p}}$ - радиус планеты.

Эта формула вычисляет высоту над уровнем моря в течение любого заданного орбитального периода ${\displaystyle t}$. Чтобы получить высоту для стационарной орбиты, орбитальный период должен быть равным сидерическому периоду обращения, время полного оборота планеты относительно неба.

Никогда не забывайте вычитать радиус планеты из своего ответа, после вычисления высоты.

Примечание: Вы, вероятно, заметили, что гравитационная константа находится сразу в трех экземплярах, два из которых в отрицательной степени. Не волнуйтесь, все получится, когда Вы подставите настоящие значения.

Обратите внимание

• Видеоролик о выводе на геосинхронную орбиту.