Geosynchronous Orbit (Math)/ru

Геосинхронная или, в частности, геостационарная орбита - это орбита, на которой период обращения равен "суткам" на этом небесном теле (обозначается как сидерический период или сидерический период обращения), таким образом, Вы постоянно остаетесь в одном и том же районе планеты. Сила тяготения и центростремительная сила также должны быть равными, что справедливо для любой круговой орбиты. Различие между геосинхронными и геостационарными орбитами в том, что у геосинхронных орбит существует орбитальный период в одни сутки, однако, геостационарные орбиты также являются экваториальными.

Формулы

Так, чтобы вычислить геостационарную орбиту вокруг любого заданного тела, мы должны сначала задать уравнение с силой тяжести и центростремительной силой. Сила тяжести равна:

$F_{G}={\frac {G\cdot M_{1}\cdot M_{2}}{r^{2}}}$, где

• G - гравитационная константа ($6.67384\cdot 10^{-11}{\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}}$);
• M₁ - масса тела;
• M₂ - масса спутника;
• r - расстояние между центрами масс планеты и спутника.

Теперь, поскольку на геостационарной орбите гравитационная сила совпадает с центростремительной силой, мы можем поместить их в противоположные части уравнения:

$F_{G}={\frac {G\cdot M_{1}\cdot M_{2}}{r^{2}}}=M_{2}\cdot {\frac {v^{2}}{r}}=F_{C}$

Массы спутника уравновешиваются, таким образом, у нас остается:

${\frac {G\cdot M_{1}}{r^{2}}}={\frac {v^{2}}{r}}$

Так, независимо от величины Вашего спутника, геостационарная высота будет той же самой.

Мы знаем, что скорость равна расстоянию, деленному на время. В этом случае расстояние - окружность Вашей орбиты, которая является 2Πr, а время в данном случае - Ваш орбитальный период, или одни сутки для небесного тела. Итак, теперь мы имеем:

$v={\frac {2\cdot \pi \cdot r}{t}}$

Но мы имеем дело с согласованной скоростью, таким образом, мы согласовываем наше уравнение и получаем:

$v^{2}={\frac {4\cdot \pi ^{2}\cdot r^{2}}{t^{2}}}$

Включая то, что ранее в оригинальном уравнение, мы получаем:

${\frac {G\cdot M_{1}}{r^{2}}}={\frac {4\cdot \pi ^{2}\cdot r^{2}}{t^{2}\cdot r}}$

r² сокращается с r в знаменателе и становится простым r. Таким образом, мы имеем:

${\frac {G\cdot M_{1}}{r^{2}}}={\frac {4\cdot \pi ^{2}\cdot r}{t^{2}}}$

Теперь мы умножаем на r²:

$G\cdot M_{1}={\frac {4\cdot \pi ^{2}\cdot r^{3}}{t^{2}}}$

И умножаем на t²/4π²:

$r^{3}={\frac {G\cdot M_{1}\cdot t^{2}}{4\cdot \pi ^{2}}}$

И взяв кубический корень от этого, мы достигаем нашего ответа (хорошо, приводим в порядок):

$r={\sqrt[{3}]{\frac {G\cdot M_{1}\cdot t^{2}}{4\cdot \pi ^{2}}}}$

Помните, что r - расстояние от центра масс планеты до этого спутника? Хорошо, оказывается, что в отличие от спутников, центр массы планеты достаточно далеко от ее поверхности:

$a={\sqrt[{3}]{\frac {G\cdot M_{1}\cdot t^{2}}{4\cdot \pi ^{2}}}}-R_{p}$, где

• $a$ - высота над уровнем моря планеты;
• $R_{p}$ - радиус планеты.

Эта формула вычисляет высоту над уровнем моря в течение любого заданного орбитального периода $t$. Чтобы получить высоту для стационарной орбиты, орбитальный период должен быть равным сидерическому периоду обращения, время полного оборота планеты относительно неба. Никогда не забывайте вычитать радиус планеты из своего ответа, после вычисления высоты. Примечание: Вы, вероятно, заметили, что гравитационная константа находится сразу в трех экземплярах, два из которых в отрицательной степени. Не волнуйтесь, все получится, когда Вы подставите настоящие значения.

Обратите внимание

• Видеоролик о выводе на геосинхронную орбиту.