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Influence de KSP sur la maîtrise de la mécanique orbitale.

Dans le tutoriel de mécanique orbitale de base à été introduit le concept d'orbite, de stabilisation d'orbite, d'orbite de transfert ainsi qu'une table des vitesses orbitales. Mais que faire si vous désirez suivre une orbite qui n'est pas dans cette table ? Ou si vous voulez orbiter autour d'un autre corps que Kerbin ? Et avec une période spécifique ? C'est là que vient le moment de faire un peu de maths !

Vitesse orbitale

La relation entre vitesse orbitale et accélération est donnée par la formule

${\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}},}$

Où ${\displaystyle a}$ est l'accélération centripète, ${\displaystyle v}$ est la vitesse horizontale (orbitale) et ${\displaystyle r}$ est le rayon de l'orbite (distance au centre du corps orbité).

Cette accélération centripète correspond à la "force" qui nous attire vers le sol, à savoir l'accélération de la pesanteur, qui dépend de la distance au centre du corps orbité et se calcule comme suit :

${\displaystyle a={\frac {\mu }{\left(R+h\right)^{2}}}}$

Où

• ${\displaystyle \mu =G\cdot M_{C}}$ est un paramètre gravitationnel du corps orbité (3530,461 km³/s² pour Kerbin).
• ${\displaystyle G}$ est la constante gravitationnelle (${\displaystyle 6,673\times 10^{-11}\ {\mbox{m}}^{3}\ {\mbox{kg}}^{-1}\ {\mbox{s}}^{-2}}$).
• ${\displaystyle M_{C}}$ est la masse du corps orbité.
• ${\displaystyle R}$ est le rayon du corps orbité (600 km pour Kerbin).
• ${\displaystyle h}$ est l'altitude de l'orbite.

Si nous orbitons autour de Kerbin, on peut obtenir cette valeur de ${\displaystyle a}$ à partir de la valeur de ${\displaystyle g_{0}=9,81m/s^{2}}$, qui est l'accélération de la pesanteur à la surface de Kerbin, par la formule

${\displaystyle a=g_{0}\cdot \left({\frac {R}{R+h}}\right)^{2}}$

Notons que le rayon de l'orbite est précisément la somme du rayon du corps et de l'altitude de l'orbite, donc ${\displaystyle r=R+h}$.

Comme nous avons deux expression de la valeur de ${\displaystyle a}$, nous pouvon égaler les deux membres et en extraire la valeur de ${\displaystyle v}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{0}\left({\frac {R}{R+h}}\right)^{2}&={\frac {v^{2}}{r}}\\g_{0}\left({\frac {R}{R+h}}\right)^{2}&={\frac {v^{2}}{R+h}}\\g_{0}{\frac {R^{2}}{(R+h)^{2}}}&={\frac {v^{2}}{R+h}}\\g_{0}{\frac {R^{2}}{R+h}}&=v^{2}\\v^{2}&=g_{0}{\frac {R^{2}}{R+h}}\\v&={\sqrt {g_{0}{\frac {R^{2}}{R+h}}}}\\v&=R{\sqrt {\frac {g_{0}}{R+h}}}\\\end{aligned}}}$

Et en substituant ${\displaystyle R}$ et ${\displaystyle g_{0}}$ par leur valeur (pour Kerbin), on a :

${\displaystyle v=600\ 000\ \mathrm {m} \cdot {\sqrt {\frac {9,81\ \mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}}{600\ 000\ \mathrm {m} +h}}}}$

Période orbitale

La formule de base de la mécanique nous donne

${\displaystyle d=vt\implies t=d/v}$

Connaissant ${\displaystyle v}$ grâce à la formule précédente, et ${\displaystyle d}$ étant simplement la circonférence d'un cercle de rayon ${\displaystyle r}$ (rayon de l'orbite, soit ${\displaystyle R+h}$), on obtient la période ${\displaystyle T}$ (en secondes) :

${\displaystyle T=2\pi \cdot {\frac {R+h}{v}}}$

Et pour Kerbin :

${\displaystyle T=2\pi \cdot {\frac {600\ 000\ \mathrm {m} +h}{v}}}$

Equations orbitales

Dans cette section nous supposons que le vaisseau orbite un corps particulier et que la vaisseau est beaucoup plus petit que ce corps. En termes techniques on dira que le barycentre du système corps-vaisseau se situe au centre de masse du corps. On suppose également que l'orbite est entièrement située dans la sphère d'influence du corps et ne subit l'influence d'aucun autre corps. Nous supposons enfin que seule la mécanique classique s'applique dans le jeu, et ne tenons pas compte des effets relativistes. enfin, ${\displaystyle M}$ désignera la masse du corps orbité, ${\displaystyle m}$ la masse du vaisseau et ${\displaystyle r}$ la distance entre leurs centres de masse (du vaisseau au centre du corps).

Quand le vaisseau orbite un corps, la distance qui les sépare est donnée par l'équation

${\displaystyle r(\phi )={\frac {l^{2}}{\mu m^{2}}}\cdot {\frac {1}{1+\epsilon \cdot cos\phi }}}$

Où

• ${\displaystyle l}$ est le moment angulaire du vaisseau.
• ${\displaystyle \epsilon }$ est l'excentricité de l'orbite (rapport entre la distance des foyers et le grand axe de l'ellipse).
• ${\displaystyle \phi }$ est un angle paramétrant l'orbite (compris entre 0° et 360°).

Quand ${\displaystyle \epsilon <1}$, l'orbite est fermée et forme une ellipse et quand ${\displaystyle \epsilon \geqslant 1}$, l'orbite est ouverte et forme une hyperbole (ou une parabole). Quand ${\displaystyle \phi =0}$, l'orbite est au périastre et quand ${\displaystyle \phi =180}$ l'orbite est à l'apoastre.

Au périastre,

${\displaystyle r_{p}={\frac {l^{2}}{\mu m^{2}}}\cdot {\frac {1}{1+\epsilon }}}$

Et à l'apoastre

${\displaystyle r_{a}={\frac {l^{2}}{\mu m^{2}}}\cdot {\frac {1}{1-\epsilon }}}$.

Le demi-grand axe vaut

${\displaystyle a={\frac {l^{2}}{\mu m^{2}}}\cdot {\frac {1}{1-\epsilon ^{2}}}}$

Et le demi-petit axe

${\displaystyle b={\frac {l^{2}}{\mu m^{2}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}}}$.

Ce qui nous donne comme valeur de l'excentricité :

${\displaystyle \epsilon ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}}$

En considérant ${\displaystyle r_{p}}$ et ${\displaystyle r_{a}}$, rayons périastral et apoastral,

${\displaystyle l^{2}=2\mu m^{2}\cdot {\frac {r_{p}\cdot r_{a}}{r_{p}+r_{a}}}}$ et

${\displaystyle \epsilon ={\frac {r_{a}-r_{p}}{r_{p}+r_{a}}}}$, donc

${\displaystyle r(\phi )={\frac {2\cdot r_{p}\cdot r_{a}}{r_{p}+r_{a}+(r_{a}-r_{p})cos\phi }}}$

Dans les conditions exprimées plus haut, la vitesse d'un objet sur une orbite elliptique est donc

${\displaystyle v={\sqrt {\mu ({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}})}}={\sqrt {\mu {\frac {r_{p}^{2}+r_{a}^{2}+(r_{a}^{2}-r_{p}^{2})cos\phi }{r_{p}r_{a}(r_{p}+r_{a})}}}}={\sqrt {2\mu {\frac {r_{p}+r_{a}-r}{r(r_{p}+r_{a})}}}}}$.

L'énergie de cet objet est

${\displaystyle E={\frac {\mu ^{2}m^{3}}{2l^{2}}}(\epsilon ^{2}-1)={\frac {\mu m(r_{p}+r_{a})}{4r_{p}r_{a}}}(\epsilon ^{2}-1)=-{\frac {\mu m}{r_{p}+r_{a}}}}$.

Nous remarquerons que pour les orbites bornées, l'énergie est négative et qu'elle est positive pour les orbite non bornées (${\displaystyle \epsilon \geqslant 1}$).

La période orbitale est

${\displaystyle \tau ={\sqrt {{\frac {4\pi ^{2}}{\mu }}a^{3}}}={\sqrt {\frac {\pi ^{2}(r_{p}+r_{a})^{3}}{2\mu }}}}$.

Désignons par ${\displaystyle r_{c,1}}$ et ${\displaystyle r_{o,1}}$ les deux apsides d'une orbite donnée et imaginons un vaisseau appliquant une poussée d'un ${\displaystyle \Delta v}$ spécifique en un point unique dans le temps quand le vaisseau est en ${\displaystyle r_{c,1}}$. Dans l'équation, ${\displaystyle \Delta v}$ peut être positif ou négatif (considérant qu'un valeur positive augmente la vitesse du vaisseau) et on suppose que ce ${\displaystyle \Delta v}$ (s'il est négatif) n'est pas suffisent pour inverser la direction du mouvement du vaisseau. Les apsides de la nouvelle orbite seront ${\displaystyle r_{c,2}}$ et ${\displaystyle r_{o,2}}$, avec ${\displaystyle r_{c,2}=r_{c,1}}$.

La vitesse du vaisseau avant la poussée vaut

${\displaystyle v_{1}={\sqrt {2\mu {\frac {r_{c,1}+r_{o,1}-r_{c,1}}{r_{c,1}(r_{c,1}+r_{o,1})}}}}={\sqrt {2\mu {\frac {r_{o,1}}{r_{c,1}(r_{c,1}+r_{o,1})}}}}}$.

La vitesse du vaisseau après la poussée vaut

${\displaystyle v_{2}=v_{1}+\Delta v={\sqrt {2\mu {\frac {r_{c,2}+r_{o,2}-r_{c,2}}{r_{c,2}(r_{c,2}+r_{c,2})}}}}={\sqrt {2\mu {\frac {r_{o,2}}{r_{c,1}(r_{c,1}+r_{o,2})}}}}={\sqrt {2\mu {\frac {r_{o,1}}{r_{c,1}(r_{c,1}+r_{o,1})}}}}+\Delta v}$

avec

${\displaystyle \Delta v={\sqrt {\frac {2\mu }{r_{c,1}}}}({\sqrt {\frac {r_{o,2}}{r_{c,1}+r_{o,2}}}}-{\sqrt {\frac {r_{o,1}}{r_{c,1}+r_{o,1}}}})}$

et

${\displaystyle r_{o,2}=r_{c,1}{\frac {r_{c,1}({\sqrt {2\mu {\frac {r_{o,1}}{r_{c,1}(r_{c,1}+r_{o,1})}}}}+\Delta v)^{2}}{2\mu -r_{c,1}({\sqrt {2\mu {\frac {r_{o,1}}{r_{c,1}(r_{c,1}+r_{o,1})}}}}+\Delta v)^{2}}}=r_{c,1}{\frac {r_{c,1}v_{2}^{2}}{2\mu -r_{c,1}v_{2}^{2}}}}$