Difference between revisions of "Tutorial: Basic Orbiting (Math)/fr"

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[[Image:Orbital mechanics.png|thumb|300px|KSP apparently greatly increases the understanding of orbital mechanics]]
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[[File:Orbital mechanics.png|thumb|300px|Influence de KSP sur la maîtrise de la mécanique orbitale.]]
  
Dans le [[Tutoriel : mécanique orbitale de base|tutoriel de mécanique orbitale de base]] à été introduit le concept d'orbite, de stabilisation d'orbite, d'orbite de transfert ainsi qu'une table des vitesses orbitales. Mais que faire si vous désirez suivre une orbite qui n'est pas dans cette table ? Ou si vous voulez orbiter autour d'un autre corps que [[Kerbin]] ? Et avec une période spécifique ? C'est là que vient le moment de faire un peu de maths !
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Dans le [[Tutorial: Basic Orbiting/fr|tutoriel de mécanique orbitale de base]] à été introduit le concept d'orbite, de stabilisation d'orbite, d'orbite de transfert ainsi qu'une table des vitesses orbitales. Mais que faire si vous désirez suivre une orbite qui n'est pas dans cette table ? Ou si vous voulez orbiter autour d'un autre corps que [[Kerbin/fr|Kerbin]]? Et avec une période spécifique ? C'est là que vient le moment de faire un peu de maths !
  
==Orbital Speed==
+
==Vitesse orbitale==
The relation between orbital speed and acceleration is given by the formula:
 
  
<math>a=\frac{v^2}{r},</math>
 
  
where ''a'' is the acceleration due to gravity, ''v'' is the horizontal speed, and ''r'' is the radius of orbit.
+
La relation entre vitesse orbitale et accélération est donnée par la formule
  
Of course, gravity varies depending on your distance from the planet, so we also need the following formula to determine ''a'' based on your altitude:
+
:<math>a=\frac{v^2}{r},</math>
  
<math>a=g\left(\frac{R}{R+h}\right)^2,</math>
+
<math>a</math> est l'''[[w:fr:Accélération centripète|accélération centripète]]'', <math>v</math> est la vitesse horizontale (orbitale) et <math>r</math> est le rayon de l'orbite (distance au centre du corps orbité).
  
where ''g'' is the acceleration due to gravity at sea level (9.807&nbsp;m/s<sup>2</sup>), ''R'' is the radius of Kerbin (600&nbsp;km), and ''h'' is the altitude of your orbit.
+
Cette accélération centripète correspond à la "force" qui nous attire vers le sol, à savoir l'accélération de la pesanteur, qui dépend de la distance au centre du corps orbité et se calcule comme suit :
  
'''Note:''' Since the radius of your orbit ''r'' is equal to the radius of Kerbin ''R'' plus your altitude ''h'', we can substitute ''R'' + ''h'' for ''r''.
+
:<math>a=\frac{\mu}{\left(R+h\right)^2}</math>
  
Now we have two expressions for ''a'', so we set them on opposite sides of an equation and simplify:
+
  
<math>
+
* <math>\mu=G \cdot M_{C}</math> est un paramètre gravitationnel du corps orbité (3530,461 km³/s² pour [[Kerbin/fr|Kerbin]]).
 +
* <math>G</math> est la [[w:fr:Constante gravitationnelle|constante gravitationnelle]] (<math>6,673 \times 10^{-11} \ \mbox{m}^3 \ \mbox{kg}^{-1} \ \mbox{s}^{-2}</math>).
 +
* <math>M_{C}</math> est la masse du corps orbité.
 +
* <math>R</math> est le rayon du corps orbité (600 km pour [[Kerbin/fr|Kerbin]]).
 +
* <math>h</math> est l'altitude de l'orbite.
 +
 
 +
Si nous orbitons autour de Kerbin, on peut obtenir cette valeur de <math>a</math> à partir de la valeur de <math>g_0=9,81m/s^2</math>, qui est l'accélération de la pesanteur à la surface de Kerbin, par la formule
 +
 
 +
:<math>a=g_0 \cdot \left(\frac{R}{R+h}\right)^2</math>
 +
 
 +
Notons que le rayon de l'orbite est précisément la somme du rayon du corps et de l'altitude de l'orbite, donc <math>r=R+h</math>.
 +
 
 +
Comme nous avons deux expression de la valeur de <math>a</math>, nous pouvons égaler les deux membres et en extraire la valeur de <math>v</math> :
 +
 
 +
:<math>
 
\begin{align}
 
\begin{align}
g\left(\frac{R}{(R+h)}\right)^2&=\frac{v^2}{r}\\
+
g_0\left(\frac{R}{R+h}\right)^2&=\frac{v^2}{r}\\
g\left(\frac{R}{(R+h)}\right)^2&=\frac{v^2}{R+h}\\
+
g_0\left(\frac{R}{R+h}\right)^2&=\frac{v^2}{R+h}\\
g\frac{R^2}{(R+h)^2}&=\frac{v^2}{R+h}\\
+
g_0\frac{R^2}{(R+h)^2}&=\frac{v^2}{R+h}\\
g\frac{R^2}{R+h}&=v^2\\
+
g_0\frac{R^2}{R+h}&=v^2\\
v^2&=g\frac{R^2}{R+h}\\
+
v^2&=g_0\frac{R^2}{R+h}\\
v&=\sqrt{g\frac{R^2}{R+h}}\\
+
v&=\sqrt{g_0\frac{R^2}{R+h}}\\
v&=R\sqrt{\frac{g}{R+h}}\\
+
v&=R\sqrt{\frac{g_0}{R+h}}\\
 
\end{align}
 
\end{align}
 
</math>
 
</math>
  
Finally, substituting known values for ''g'' and ''R'',
+
Et en substituant <math>R</math> et <math>g_0</math> par leur valeur (pour Kerbin), on a :
  
<math>v=600\ 000\ \mathrm{m}\sqrt{\frac{9.807\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2}{600\ 000\ \mathrm{m} + h}}</math>
+
:<math>v=600\ 000\ \mathrm{m} \cdot \sqrt{\frac{9,81\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2}{600\ 000\ \mathrm{m} + h}}</math>
  
==Orbital Period==
+
==Période orbitale==
From the basic mechanics formula:
 
  
<math>d=vt</math>
+
La formule de base de la mécanique nous donne
  
We know ''v'' from the above, and ''d'' is simply the circumference of a circle with a radius equal to your orbital altitude plus the radius of Kerbin:
+
:<math>d=vt \implies t=d/v </math>
  
<math>t=2\pi\frac{600\ 000\ \mathrm{m} + h}{v}</math>
+
Connaissant <math>v</math> grâce à la formule précédente, et <math>d</math> étant simplement la circonférence d'un cercle de rayon <math>r</math> (rayon de l'orbite, soit <math>R+h</math>), on obtient la période <math>T</math> (en secondes) :
  
==Orbital Equations==
+
:<math>T=2\pi \cdot \frac{R+h}{v}</math>
  
For this section it is assumed that the craft in question is orbiting a particular body and is a lot smaller than the body that it is orbiting. Other then in the general orbital equation and the energy equation, the orbits are assumed to be bounded orbits completely within the body's sphere of influence and no others. This section also assumes that classical physics applies in the game. All distances and radii are from the center of the body being orbited and the sea level radius of the body needs to be added to the altitude given in game to recover the values here. The section uses the standard gravitational parameter <math>\mu =G M</math> which <math>G</math> is Newton's Gravitational Constant and <math>M</math> is the mass of the body that is being orbited. From here on out <math>m</math> will refer to the mass of the craft.
+
Et pour Kerbin :
  
When the craft is orbiting a body, the distance between the craft and the body is given by the equation
+
:<math>T=2\pi\cdot\frac{600\ 000\ \mathrm{m} + h}{v}</math>
  
<math>r(\phi)=\frac{l^2}{\mu m^2} \frac{1}{1+\epsilon cos \phi}</math>
+
==Equations orbitales==
  
where <math>l</math> is the angular momentum of the craft, <math>\epsilon</math> is the eccentricity of the orbit, and <math>\phi</math> is an angle parameter for the orbit. <math>\phi</math> runs from <math>0 \deg</math> to <math>360 \deg</math>, <math>l=m \sdot r \sdot v</math> at apoapsis or periapsis, and <math>\epsilon \ge 0</math>. When <math>\epsilon < 1</math> the orbit is bounded and is an ellipse and when <math>\epsilon \ge 1</math> the orbit is unbounded. At <math>\phi =0 \deg</math>the craft is at the periapsis and at <math>\phi =180 \deg</math> the craft is at the apoapsis. At periapsis,
+
Dans cette section nous supposons que le vaisseau orbite un corps particulier et que la vaisseau est beaucoup plus petit que ce corps. En termes techniques on dira que le [[w:fr:Barycentre (physique)|barycentre]] du système corps-vaisseau se situe au [[w:fr:Centre de masse|centre de masse]] du corps. On suppose également que l'orbite est entièrement située dans la [[Sphere of influence/fr|sphère d'influence]] du corps et ne subit l'influence d'aucun autre corps. Nous supposons enfin que seule la [[w:fr:Mécanique newtonienne|mécanique classique]] s'applique dans le jeu, et ne tenons pas compte des [[w:fr:Vitesse relativiste|effets relativistes]]. Enfin, <math>M</math> désignera la masse du corps orbité, <math>m</math> la masse du vaisseau et <math>r</math> la distance entre leurs centres de masse (du vaisseau au centre du corps).
  
<math>r_p=\frac{l^2}{\mu m^2} \frac{1}{1+\epsilon}</math>
+
Quand le vaisseau orbite un corps, la distance qui les sépare est donnée par l'équation
  
and at apoapsis,
+
:<math>r(\phi)=\frac{l^2}{\mu m^2} \cdot \frac{1}{1+\epsilon \cdot cos \phi}</math>
  
<math>r_a=\frac{l^2}{\mu m^2} \frac{1}{1-\epsilon}</math>.
+
  
The semimajor axis is
+
* <math>l</math> est le [[w:fr:Moment angulaire|moment angulaire]] du vaisseau.
 +
* <math>\epsilon</math> est l'[[w:fr:Excentricité orbitale|excentricité]] de l'orbite (rapport entre la distance des foyers et le grand axe de l'ellipse).
 +
* <math>\phi</math> est un angle [[w:fr:Équation paramétrique|paramétrant]] l'orbite (compris entre 0° et 360°).
  
<math>a=\frac{l^2}{\mu m^2} \frac{1}{1-\epsilon ^2}</math>
+
Quand <math>\epsilon < 1</math>, l'orbite est fermée et forme une ellipse et quand <math>\epsilon \geqslant 1</math>, l'orbite est ouverte et forme une hyperbole (ou une parabole). Quand <math>\phi = 0</math>, l'orbite est au périastre et quand <math>\phi = 180</math> l'orbite est à l'apoastre.
  
and the semiminor axis is
+
Au périastre,
  
<math>b=\frac{l^2}{\mu m^2} \frac{1}{\sqrt{1-\epsilon ^2}}</math>.
+
:<math>r_p=\frac{l^2}{\mu m^2} \cdot \frac{1}{1+\epsilon}</math>
  
<math>\epsilon =\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}</math>
+
Et à l'apoastre
  
Given the results for <math>r_p</math> and <math>r_a</math> above,
+
:<math>r_a=\frac{l^2}{\mu m^2} \cdot \frac{1}{1-\epsilon}</math>.
  
<math>l^2=2\mu m^2 \frac{r_p r_a}{r_p +r_a}</math> and
+
Le demi-grand axe vaut
  
<math>\epsilon =\frac{r_a-r_p}{r_p+r_a}</math> thus
+
:<math>a=\frac{l^2}{\mu m^2} \cdot \frac{1}{1-\epsilon ^2}</math>
  
<math>r(\phi)=2\frac{r_p r_a}{r_p + r_a +(r_a-r_p)cos \phi}</math>
+
Et le demi-petit axe
  
The velocity for an object in elliptical orbit about a much larger object is
+
:<math>b=\frac{l^2}{\mu m^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-\epsilon ^2}}</math>.
  
<math>v=\sqrt{\mu(\frac{2}{r}-\frac{1}{a})}=\sqrt{\mu\frac{r_p^2+r_a^2+(r_a^2-r_p^2)cos\phi}{r_p r_a (r_p + r_a)}}=\sqrt{2\mu\frac{r_p+r_a-r}{r(r_p+r_a)}}</math>.
+
Ce qui nous donne comme valeur de l'excentricité :
  
The energy for an object in orbit is
+
:<math>\epsilon =\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}</math>
  
<math>E=\frac{\mu^2 m^3}{2l^2}(\epsilon^2-1)=\frac{\mu m (r_p+r_a)}{4r_p r_a}(\epsilon^2-1)=-\frac{\mu m}{r_p+r_a}</math>.
+
En considérant <math>r_p</math> et <math>r_a</math>, rayons périastral et apoastral,
  
One should note that for bounded orbits, the energy is negative and for escape orbits, energy is non-negative.
+
:<math>l^2=2\mu m^2 \cdot \frac{r_p \cdot r_a}{r_p +r_a}</math> et
  
The orbital period is
+
:<math>\epsilon =\frac{r_a-r_p}{r_p+r_a}</math>, donc
  
<math>\tau=\sqrt{\frac{4\pi^2}{\mu}a^3}=\sqrt{\frac{\pi^2(r_p+r_a)^3}{2\mu}}</math>.
+
:<math>r(\phi)=\frac{2 \cdot r_p \cdot r_a}{r_p + r_a +(r_a-r_p)cos \phi}</math>
  
Let <math>r_{c,1}</math> and <math>r_{o,1}</math> be the two apsides of a given orbit and let a craft execute a burn imparting a specific <math>\Delta v</math> all at the single point in time the craft is at <math>r_{c,1}</math>.  For this problem <math>\Delta v</math>  can be either positive or negative.  If it is positive then the thrust is to speed up the craft but if it is negative the ture delta v is the oppositie of that in the problem but the thrust is to slow down the craft.  This problem assumes that the thust is in the same or opposite direction of travel and is not enough to reverse the craft.  The new orbit will have apsides of <math>r_{c,2}</math> and <math>r_{o,2}</math> with <math>r_{c,2}=r_{c,1}</math>.
+
Dans les conditions exprimées plus haut, la vitesse d'un objet sur une orbite elliptique est donc
  
The speed of the craft before the burn is
+
:<math>v=\sqrt{\mu(\frac{2}{r}-\frac{1}{a})}=\sqrt{\mu\frac{r_p^2+r_a^2+(r_a^2-r_p^2)cos\phi}{r_p r_a (r_p + r_a)}}=\sqrt{2\mu\frac{r_p+r_a-r}{r(r_p+r_a)}}</math>.
 +
 
 +
L'énergie de cet objet est
 +
 
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:<math>E=\frac{\mu^2 m^3}{2l^2}(\epsilon^2-1)=\frac{\mu m (r_p+r_a)}{4r_p r_a}(\epsilon^2-1)=-\frac{\mu m}{r_p+r_a}</math>.
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Nous remarquerons que pour les orbites bornées, l'énergie est négative et qu'elle est positive pour les orbite non bornées (<math>\epsilon \geqslant 1</math>).
 +
 
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La période orbitale est
 +
 
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:<math>\tau=\sqrt{\frac{4\pi^2}{\mu}a^3}=\sqrt{\frac{\pi^2(r_p+r_a)^3}{2\mu}}</math>.
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Désignons par <math>r_{c,1}</math> et <math>r_{o,1}</math> les deux [[w:fr:Apside|apsides]] d'une orbite donnée et imaginons un vaisseau appliquant une poussée d'un <math>\Delta v</math> spécifique en un point unique dans le temps quand le vaisseau est en <math>r_{c,1}</math>. Dans l'équation, <math>\Delta v</math> peut être positif ou négatif (considérant qu'un valeur positive augmente la vitesse du vaisseau) et on suppose que ce <math>\Delta v</math> (s'il est négatif) n'est pas suffisent pour inverser la direction du mouvement du vaisseau. Les apsides de la nouvelle orbite seront <math>r_{c,2}</math> et <math>r_{o,2}</math>, avec <math>r_{c,2}=r_{c,1}</math>.
 +
 
 +
La vitesse du vaisseau avant la poussée vaut
  
 
<math>v_1=\sqrt{2\mu\frac{r_{c,1}+r_{o,1}-r_{c,1}}{r_{c,1}(r_{c,1}+r_{o,1})}}=\sqrt{2\mu\frac{r_{o,1}}{r_{c,1}(r_{c,1}+r_{o,1})}}</math>.
 
<math>v_1=\sqrt{2\mu\frac{r_{c,1}+r_{o,1}-r_{c,1}}{r_{c,1}(r_{c,1}+r_{o,1})}}=\sqrt{2\mu\frac{r_{o,1}}{r_{c,1}(r_{c,1}+r_{o,1})}}</math>.
  
The speed of the craft after the burn is
+
La vitesse du vaisseau après la poussée vaut
 
 
<math>v_2=v_1+\Delta v=\sqrt{2\mu\frac{r_{c,2}+r_{o,2}-r_{c,2}}{r_{c,2}(r_{c,2}+r_{c,2})}}=\sqrt{2\mu\frac{r_{o,2}}{r_{c,1}(r_{c,1}+r_{o,2})}}=\sqrt{2\mu\frac{r_{o,1}}{r_{c,1}(r_{c,1}+r_{o,1})}}+\Delta v</math>
 
  
which yields
+
:<math>v_2=v_1+\Delta v=\sqrt{2\mu\frac{r_{c,2}+r_{o,2}-r_{c,2}}{r_{c,2}(r_{c,2}+r_{c,2})}}=\sqrt{2\mu\frac{r_{o,2}}{r_{c,1}(r_{c,1}+r_{o,2})}}=\sqrt{2\mu\frac{r_{o,1}}{r_{c,1}(r_{c,1}+r_{o,1})}}+\Delta v</math>
  
<math>\Delta v=\sqrt{\frac{2\mu}{r_{c,1}}}(\sqrt{\frac{r_{o,2}}{r_{c,1}+r_{o,2}}}-\sqrt{\frac{r_{o,1}}{r_{c,1}+r_{o,1}}})</math>
+
avec
  
and
+
:<math>\Delta v=\sqrt{\frac{2\mu}{r_{c,1}}}(\sqrt{\frac{r_{o,2}}{r_{c,1}+r_{o,2}}}-\sqrt{\frac{r_{o,1}}{r_{c,1}+r_{o,1}}})</math>
  
<math>r_{o,2}=r_{c,1}\frac{r_{c,1}(\sqrt{2\mu\frac{r_{o,1}}{r_{c,1}(r_{c,1}+r_{o,1})}}+\Delta v)^2}{2\mu-r_{c,1}(\sqrt{2\mu\frac{r_{o,1}}{r_{c,1}(r_{c,1}+r_{o,1})}}+\Delta v)^2}=r_{c,1}\frac{r_{c,1}v_2^2}{2\mu-r_{c,1}v_2^2}</math>
+
et
  
[[Category:Tutorials|Tutorial: Basic Orbiting (Math)]]
+
:<math>r_{o,2}=r_{c,1}\frac{r_{c,1}(\sqrt{2\mu\frac{r_{o,1}}{r_{c,1}(r_{c,1}+r_{o,1})}}+\Delta v)^2}{2\mu-r_{c,1}(\sqrt{2\mu\frac{r_{o,1}}{r_{c,1}(r_{c,1}+r_{o,1})}}+\Delta v)^2}=r_{c,1}\frac{r_{c,1}v_2^2}{2\mu-r_{c,1}v_2^2}</math>

Latest revision as of 09:23, 13 March 2020

Influence de KSP sur la maîtrise de la mécanique orbitale.

Dans le tutoriel de mécanique orbitale de base à été introduit le concept d'orbite, de stabilisation d'orbite, d'orbite de transfert ainsi qu'une table des vitesses orbitales. Mais que faire si vous désirez suivre une orbite qui n'est pas dans cette table ? Ou si vous voulez orbiter autour d'un autre corps que Kerbin? Et avec une période spécifique ? C'est là que vient le moment de faire un peu de maths !

Vitesse orbitale

La relation entre vitesse orbitale et accélération est donnée par la formule

est l'accélération centripète, est la vitesse horizontale (orbitale) et est le rayon de l'orbite (distance au centre du corps orbité).

Cette accélération centripète correspond à la "force" qui nous attire vers le sol, à savoir l'accélération de la pesanteur, qui dépend de la distance au centre du corps orbité et se calcule comme suit :

  • est un paramètre gravitationnel du corps orbité (3530,461 km³/s² pour Kerbin).
  • est la constante gravitationnelle ().
  • est la masse du corps orbité.
  • est le rayon du corps orbité (600 km pour Kerbin).
  • est l'altitude de l'orbite.

Si nous orbitons autour de Kerbin, on peut obtenir cette valeur de à partir de la valeur de , qui est l'accélération de la pesanteur à la surface de Kerbin, par la formule

Notons que le rayon de l'orbite est précisément la somme du rayon du corps et de l'altitude de l'orbite, donc .

Comme nous avons deux expression de la valeur de , nous pouvons égaler les deux membres et en extraire la valeur de  :

Et en substituant et par leur valeur (pour Kerbin), on a :

Période orbitale

La formule de base de la mécanique nous donne

Connaissant grâce à la formule précédente, et étant simplement la circonférence d'un cercle de rayon (rayon de l'orbite, soit ), on obtient la période (en secondes) :

Et pour Kerbin :

Equations orbitales

Dans cette section nous supposons que le vaisseau orbite un corps particulier et que la vaisseau est beaucoup plus petit que ce corps. En termes techniques on dira que le barycentre du système corps-vaisseau se situe au centre de masse du corps. On suppose également que l'orbite est entièrement située dans la sphère d'influence du corps et ne subit l'influence d'aucun autre corps. Nous supposons enfin que seule la mécanique classique s'applique dans le jeu, et ne tenons pas compte des effets relativistes. Enfin, désignera la masse du corps orbité, la masse du vaisseau et la distance entre leurs centres de masse (du vaisseau au centre du corps).

Quand le vaisseau orbite un corps, la distance qui les sépare est donnée par l'équation

  • est le moment angulaire du vaisseau.
  • est l'excentricité de l'orbite (rapport entre la distance des foyers et le grand axe de l'ellipse).
  • est un angle paramétrant l'orbite (compris entre 0° et 360°).

Quand , l'orbite est fermée et forme une ellipse et quand , l'orbite est ouverte et forme une hyperbole (ou une parabole). Quand , l'orbite est au périastre et quand l'orbite est à l'apoastre.

Au périastre,

Et à l'apoastre

.

Le demi-grand axe vaut

Et le demi-petit axe

.

Ce qui nous donne comme valeur de l'excentricité :

En considérant et , rayons périastral et apoastral,

et
, donc

Dans les conditions exprimées plus haut, la vitesse d'un objet sur une orbite elliptique est donc

.

L'énergie de cet objet est

.

Nous remarquerons que pour les orbites bornées, l'énergie est négative et qu'elle est positive pour les orbite non bornées ().

La période orbitale est

.

Désignons par et les deux apsides d'une orbite donnée et imaginons un vaisseau appliquant une poussée d'un spécifique en un point unique dans le temps quand le vaisseau est en . Dans l'équation, peut être positif ou négatif (considérant qu'un valeur positive augmente la vitesse du vaisseau) et on suppose que ce (s'il est négatif) n'est pas suffisent pour inverser la direction du mouvement du vaisseau. Les apsides de la nouvelle orbite seront et , avec .

La vitesse du vaisseau avant la poussée vaut

.

La vitesse du vaisseau après la poussée vaut

avec

et