Specific impulse/de

Der spezifische Impuls definiert die Effizienz von Raketentriebwerken. Er hängt direkt vom Schub und dem Treibstoffmassendurchsatz ab. Die Einheit des spezifischen Impulses ist entweder Meter pro Sekunde oder schlicht nur Sekunden und er beschreibt eigentlich die Gasaustrittsgeschwindigkeit des Raketentriebwerks.

Man kann daraus natürlich auch schließen, dass ein Raketentriebwerk mit dem spezifischen Impuls $I_{sp}$ (meter/Sekunde) und dem Schub $F$ Newton einen Treibstoffmassendurchsatz von ${\frac {F}{I_{sp}}}$ Kilogramm pro Sekunde haben wird. Weil das Resultat hier eine Masse oder halt Massendurchsatz beschreibt, nennt man $I_{sp}$ auch den Massenspezifischen Impuls. In der Vergangenheit hat diese Schreibweise aber zu Problemen geführt, da sie auf dem SI-System beruht. Um die Vergleichbarkeit auch bei unterschiedlichen Einheitensystemen zu gewährleisten hat man noch eine zweite Schreibweise eingeführt, welche in KSP verwendet wird, die des gewichtsspezifischen Impulses $I_{sp,g_{0}}$ bei dem der Wert dann nicht in Meter pro Sekunde sondern nur noch in Sekunden angegeben wird, da die Sekunde international die selbe Bedeutung hat. Vom metrischen System aus gesehen, besteht der Unterschied zum Massespezifischen Impuls hauptsächlich darin, dass noch eine Division durch die Kerbin- bzw. in der realität durch die Erdbeschleunigung von 9.81m/s² gemacht wird.

Formeln

$I_{sp}={\frac {F_{T}}{\dot {m}}}$

Wo:

• $I_{sp}$ ist der spezifische Impuls in Meter pro Sekunde (m/s)
• $F_{T}$ der erzeugte Schub in Newton (N)
• ${\dot {m}}$ der Treibstoffverbrauch oder auch Treibstoffmassendurchsatz in Kilogramm pro Sekunde (kg/s)

Indem man diesen Wert noch durch g₀ dividiert wird es möglich die Einheit des spezifischen Impulses in Sekunden umzuwandeln und so Probleme bei der Umwandlung in nicht SI-Einheitssysteme zu vermeiden. g₀ verhält sich hierbei wie ein Umwandlungsfaktor und ist somit als Konstante anzusehen. Dieser Wert bleibt gleich, selbst wenn ein Raumfahrzeug einen Punkt erreichen sollte an dem keine gravitativen Einflüsse mehr vorhanden sind. Für beide diese Werte, ist die Abkürzung I_sp gebräuchlich und beide werden im Allgemeinen als spezifischer Impuls bezeichnet. Manchmal fidnet man jedoch für I_sp auch die Bezeichnung Massespezifischer Impuls, während dann I_sp,g0 als gewichtsspezifischer Impuls bezeichnet wird, der sich wie folgt berechnen lässt.

$I_{sp,g_{0}}={\frac {F_{T}}{{\dot {m}}\cdot g_{0}}}={\frac {I_{sp}}{g_{0}}}$

Wo:

• $I_{sp,g_{0}}$ Ist der spezifische Impuls in Sekunden (s)
• $g_{0}$ Ist die Gravitationsbeschleunigung (nomalerweise 9.81m/s² also Kerbin bzw. Erdbeschleunigung)

Andere Formeln in denen der I_sp verwendet wird (bsw. für Δv-Berechnungen) sollten irgendwo spezifizieren welche Scheibweise des spezifischen Impulses vorrausgesetzt wird. Verbreiteter ist jedoch eindeutig die Verwendung des I_sp,g0.

Mehrere Raketentriebwerke

Der kombinierte spezifische Impuls im Falle dass mehrere Raketentriebwerke zur selben Zeit betrieben werden, kann mit der Folgenden Formel errechnet werden:

$I_{sp}={\frac {\sum \limits _{i}F_{T_{i}}}{\sum \limits _{i}{\dot {m}}_{i}}}={\frac {\sum \limits _{i}F_{T_{i}}}{\sum \limits _{i}{\frac {F_{T_{i}}}{I_{sp_{i}}}}}}$

Wo:

• $I_{sp}$ Ist der spezifische Impuls in Meter pro Sekunde. (m/s)
• $I_{sp_{i}}$ Ist der spezifische Impuls jedes einzelnen Raketentriebwerks (m/s)
• $F_{T_{i}}$ Der Schub jedes Raketentriebwerks in Newton (N)
• ${\dot {m}}$ Der Treibstoffverbrauch in Kilogramm pro Sekunde (kg/s)

Wenn der Treibstoffverbrauch ${\dot {m}}$ nicht bekannt sein sollte oder aus sonst einem Grund nicht verwendet wird, ist es nur wichtig, dass alle Schub und I_sp Werte die selbe Einheit verwenden. Also entweder Alle Schubstärken in Newton (N) oder Kilonewton (kN) und alle I_sp Werte in Sekunden (s) oder Meter pro Sekunde (m/s). Das Resultat wird dann die selbe Einheit haben wie die gewählte Einheit des spezifischen Impulses. Wie man auch aus der Formel erahnen kann, ist der spezifische Impuls von drei identischen Triebwerken gleich gross wie der spezifische Impuls eines dieser Treibwerke. Mehr Triebwerke erhöhen nicht die Effizienz. Das Resultat entsprich auch dem Gewichtetes harmonisches Mittel des spezifischen Impulses aller verwendeten Raketentriebwerke, gewichtet durch den Schub jedes Triebwerks.

Physikalischer Hintergrund

In KSP ist seit Version 1.0 der Treibstoffdurchfluss konstant und der Schub des Triebwerks steigt, wenn der atmosphärische Gegendruck abnimmt. Dieses Verhalten entspricht dem von echten Raketentriebwerken. Ein Raketentriebwerk ereicht also erst im Vakuum seinen maximalen Schub und damit auch seinen höchsten spezifischen Impuls. Mit der hier beschriebnen Methode kann nur der spezifische Impuls von Raketentriebwerken genau errechnet werden. Strahltriebwerke arbeiten nach einem anderen Prinzip.

Obwohl die Einheit des massenspezifischen Impulses eine Geschwindigkeit ist (m/s), ist der Wert bei Flüssigkeitsraketentriebwerke in der Realität für gewöhnlich kleiner als die Gasaustritsgeschwindigkeit am Ende der Düse, weil ein Teil des Treibstoffs verwendet wird die Turbopumpen zu befeuern um die Brennkammer des Raketentriebwerks mit Treibstoff zu versorgen. Bei KSP wird dies allerdings nicht berücksichtigt und im Spiel wandelt ein Raketentriebwerk den gesamten Treibstoff tatsächlich in Vortrieb um.

Umwandlungsfaktor

Um den spezifischen Impuls zwischen dem gewichtsspezifischen Impuls I_sp,g0 und dem Massespezifischen Impuls I_sp umzuwandeln, muss ja der Faktor g₀ verwendet werden, welcher in der realen Welt für gewöhnlich 9.81m/s² beträgt. In KSP scheint dieser Umrechnungswert minimal anders zu sein. Um den Wert den KSP verwendet herauszufinden kann folgende Formel verwendet werden:

$g_{I_{sp}}={\frac {F_{T}}{\sum \limits _{i}({\dot {m}}_{i}\rho _{i})I_{sp,g_{0}}}}$

Wo:

• $F_{T}$ Ist der Schub des Triebwerks (N)
• ${\dot {m}}_{i}$ Ist der Gesamtmassedurchsatz beider Treibstoffkomponenten (kg/s)
• $\rho _{i}$ Ist die Dichte der Treibstoffkomponenten (kg/Einheit)
• $I_{sp,g_{0}}$ Ist der gewichtsspezifische Impuls (s)

Zum Beispiel hat ein Flüssigkeitsraketentriebwerk ja die Treibstoffkomponenten Liquid Fuel und Oxidizer. Verwendet man nun ein M3 "Mainsail" auf der Startrampe, hat dieses einen maximalen Verbrauch von 44.3475 Einheiten Flüssigtreibstoff und 54.2025 Einheiten Oxidationsmittel pro Sekunde bei einem gewichtsspezifischem Impuls von 285.3 Sekunden und einem Schub von 1380.72kN. Unter der Annahme das Treibstoff und Oxidationsmittel eine Dichte von 5kg/Einheit haben, würde der Massedurchsatz bei 492.75kg/s liegen. Setzt man diese Werte nun in die oben genannte Formel ein, ergibt sich ein Resultat von 9.8214862m/s². Dieser Wert kann möglicherweise etwas vom tatsächlich verwendeten Wert in KSP abweichen, weil die Treibstoffmassenflüsse nicht ganz genau aus dem Spiel ausgelesen werden können. Aber Berechnungen mit anderen Raketentriebwerken ergaben bisher immer, dass der Wert um etwa 0.01m/s² höher ist als in der realen Welt üblich, was die Triebwerke gut 1% effizienter Arbeiten lässt. Wieso diese Abweichung existiert ist bisher nicht bekannt.

Beispiel

Die Kerbal X hat sechs LV-T45 "Swivel" Liquid Fuel Engine mit einem spezifischem Impuls von 270.7s auf der Startrampe und ein RE-M3 "Mainsail" mit einem spezifischen Impuls von 285.4s auf Meereshöhe. Der durchschnittliche spezifische Impuls all dieser Raketentriebwerke zusammen beträgt dann:

$I_{sp}={\frac {6\cdot 169.2{\text{kN}}+1381.06{\text{kN}}}{6\cdot {\frac {169.2{\text{kN}}}{270.7{\text{s}}}}+{\frac {1381.06{\text{kN}}}{285.4{\text{s}}}}}}=278.98{\text{s}}$

Da der gewichtsspezifische Impuls den Nachteil hat, dass er sich nicht gut eignet um direkt damit weiterzurechnen, wandeln wir ihn in den Massenspezifischen Impuls um. Dazu nehmen wir die KSP relevante Konstante von 9.82m/s².

$I_{sp}=g_{I_{sp}}\cdot 278.98{\text{s}}=2739.6{\frac {\text{m}}{\text{s}}}$

Aus diesem Wert kann man nun den Treibstoffverbrauch errechnen.:

${\begin{aligned}I_{sp}&={\frac {6\cdot 169.2{\text{kN}}+1381.06{\text{kN}}}{\dot {m}}}=2739.6{\frac {\text{m}}{\text{s}}}\\{\dot {m}}&={\frac {6\cdot 169200{\text{N}}+1381060{\text{N}}}{2739.6{\frac {\text{m}}{\text{s}}}}}\\&=874.68{\frac {\text{kg}}{\text{s}}}\end{aligned}}$

Da ja Flüssigkeitsraketentriebwerke Liquid Fuel und Oxidationsmittel mit einer Dichte von 5000 kg/m³ verwendet, ist es nun auch Möglich den Volumenfluss zu berechnen.

${\dot {V}}={\frac {\dot {m}}{\rho }}={\frac {874.68{\frac {\text{kg}}{\text{s}}}}{5000{\frac {\text{kg}}{{\text{m}}^{3}}}}}=0.1749{\frac {{\text{m}}^{3}}{\text{s}}}=174.9{\frac {\text{l}}{\text{s}}}$

Diese Werte stimmen für die Kerbal X, wenn sie auf der Startrampe steht. Wenn die Rakete nach dem Start an höhe gewinnt nimmt der atmosphärische Gegendruck ab und die Triebwerke liefern bei gleichem Treibstoffverbrauch mehr Schub, wodurch natürlich auch der spezifische Impuls steigt, bis er sein maximum im Vakuum des Alls erreicht. Zusätzlich wirkt sich die Art der Stufentrennung der Kerbal X auf ihren gesamtspezifischen Impuls aus, welcher in diesem Fall bei jeder Trennung stärker durch das M3 "Mainsail" bestimmt wird, bis schliesslich das "Mainsail" das einzige verbliebene Triebwerk ist und dementsprechend den spezifische Impuls der Kerbal X alleine bestimmt.

Siehe auch

• Terminologie
• Spezifischer Impuls bei Wikipedia