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Concevoir des fusées dans un jeu comme Kerbal Space Program peut nécessiter une certaine connaissance de la mécanique spatiale et orbitale. Dans ce tutoriel, nous aborderons des sujets comme le calcul des delta-v, des manœuvres de transfert, du ratio poussée-poids, des forces qui s'exercent sur le vaisseau pendant une poussée et bien plus encore...

Delta-v

Le delta-v (${\displaystyle \Delta v}$, variation de vitesse) est le B A BA de la mécanique spatiale. C'est sûrement la chose la plus importante à connaître de votre fusée car c'est ce qui définit ce qu'elle est capable de réaliser. De ce que nous allons expliquer dans ce tutoriel de base, le ${\displaystyle \Delta v}$ est probablement l'aspect le plus utile que vous aurez a appliquer dans Kerbal Space Program.

Pour calculer le ${\displaystyle \Delta v}$ de chaque étage de votre véhicule spatial, il faut commencer par additionner les masses de tous les composants de l'étage.

• Masse totale : ${\displaystyle m_{\text{totale}}}$
• Masse de carburant (fuel) : ${\displaystyle m_{\text{fuel}}}$
• Masse sèche : ${\displaystyle m_{\text{sèche}}=m_{\text{totale}}-m_{\text{fuel}}}$

L'équation du ${\displaystyle \Delta v}$ ne nécessite que les masses totale et sèche, mais comme il est plus simple d'obtenir la masse de carburant, on calcule la masse sèche en effectuant une soustraction. Bien sûr d'autre combinaisons sont possibles.

La prochaine phase de calcul est de connaître l'impulsion spécifique (specific impulse) de votre moteur. L'impulsion spécifique caractérise "l'efficacité" d'un moteur en terme de consommation de carburant. Elle se mesure en secondes (s). Plus l'impulsion spécifique d'un moteur est grande, plus il est efficace. Par exemple, le LV-T30 a une impulsion spécifique de 370 s (dans le vide). Nous pouvons maintenant appliquer l'équation de Tsiolkovski, une formule capitale en mécanique spatiale :

${\displaystyle \Delta v=g\cdot I_{sp}\cdot \ln \left({\frac {m_{\text{totale}}}{m_{\text{sèche}}}}\right)}$

Où ${\displaystyle g}$ est l'accélération de la pesanteur (${\displaystyle 9,81m/s^{2}}$ au niveau du sol), ${\displaystyle I_{sp}}$ est l'impulsion spécifique en secondes et ${\displaystyle ln}$ est le logarithme népérien.

Vous pouvez y aller : faites la somme de la masse de carburant de votre étage, puis calculez la masse totale de l'étage et soustrayez-y la masse de carburant (ce qui vous donne la masse sèche). Injectez ces valeurs dans l'équation à la place de ${\displaystyle m_{\text{total}}}$ et ${\displaystyle m_{\text{dry}}}$. Voici un petit exemple en prenant l'accélération de la pesanteur terrestre (la même que sur Kerbin), soit ${\displaystyle g=9,81m/s^{2}}$.

Fusée de l'exemple

3e étage (Injection trans-munaire, Mun lander, retour)
Masse totale	${\displaystyle 3,72t}$
Masse sèche	${\displaystyle 1,72t}$
Isp:	${\displaystyle 400s}$
Δv:	${\displaystyle 3027,0{\frac {m}{s}}}$
2e étage (Injection en orbite de Kerbin)
Masse totale	${\displaystyle 7,27t}$
Masse sèche	${\displaystyle 5,27t}$
Isp:	${\displaystyle 370s}$
Δv:	${\displaystyle 1167,8{\frac {m}{s}}}$
1er étage (Ascension):
Masse totale	${\displaystyle 38,52t}$
Masse sèche	${\displaystyle 14,52t}$
Isp:	${\displaystyle 350s}$ (estimée car vol atmosphérique)
Δv:	${\displaystyle 3349,9{\frac {m}{s}}}$
Total
Δv:	${\displaystyle 7544,6{\frac {m}{s}}}$

Moteurs multiples

Pour calculer l'impulsion spécifique moyenne de plusieurs moteurs dont la valeur de l'impulsion varie, vous devez connaitre la poussée (thrust) totale et le débit massique (mass flow, ${\displaystyle {\dot {m}}}$) :

${\displaystyle I_{sp_{moy}}={\frac {\sum \limits _{i}^{n}(thrust_{i})}{\sum \limits _{i}^{n}({\dot {m}}_{i}\cdot g_{0})}}={\frac {\sum \limits _{i}^{n}(thrust_{i})}{\sum \limits _{i}^{n}\left({\frac {thrust_{i}}{I_{sp_{i}}}}\right)}}={\frac {thrust_{1}+thrust_{2}+\dots +thrust_{n}}{thrust_{1}\div I_{sp_{1}}+thrust_{2}\div I_{sp_{2}}+\dots +thrust_{n}\div I_{sp_{n}}}}}$

Vous obtiendrez ainsi l'impulsion spécifique correcte à utiliser pour calculer votre Δv. Si tous les moteurs sont les mêmes, ils agissement comme un seul moteur et l'utilisation de cette formule n'est pas nécessaire.

Calcul des manœuvres de transfert

Nous allons maintenant parler des manœuvres de transfert. C'est ce qu'on appelle effectuer un transfert suivant une orbite de Hohmann, ce qui nécessite d'allumer le moteur aux deux points opposés de l'orbite. On augmente la vitesse au périastre, ce qui va augmenter l'altitude de votre apoastre. On attend ensuite simplement d'atteindre ce nouvel apoastre, puis on allume à nouveau le moteur pour faire monter le périastre et circulariser l'orbite. De même, on peut aussi faire baisser notre orbite en allumant le moteur dans la direction rétrograde, ce qui diminuera notre vitesse orbitale.

On peut appliquer une formule pour connaître combien de ${\displaystyle \Delta v}$ va nous coûter une telle manœuvre. Nous considérerons les phases de poussées comme impulsionnelles, car leur durée est tellement courte par rapport à la période de l'orbite qu'on peut les considérer comme de durée nulle.

Formule pour la première poussée :

${\displaystyle \Delta v_{1}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}+R}}}{\Bigg (}{\sqrt {\frac {2(r_{2}+R)}{r_{1}+R+r_{2}+R}}}-1{\Bigg )}}$

Formule pour la seconde poussée :

${\displaystyle \Delta v_{2}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}+R}}}{\Bigg (}1-{\sqrt {\frac {2(r_{1}+R)}{r_{1}+R+r_{2}+R}}}{\Bigg )}}$

Où

• ${\displaystyle \mu =G\cdot M_{C}}$ est un paramètre gravitationnel du corps orbité (3530,461 km³/s² pour Kerbin).
• ${\displaystyle G}$ est la constante gravitationnelle (${\displaystyle 6,673\times 10^{-11}\ {\mbox{m}}^{3}\ {\mbox{kg}}^{-1}\ {\mbox{s}}^{-2}}$).
• ${\displaystyle M_{C}}$ est la masse du corps orbité.
• ${\displaystyle r_{1}}$ est l'altitude de l'orbite initiale.
• ${\displaystyle r_{2}}$ l'altitude de l'orbite finale.
• ${\displaystyle R}$ est le rayon du corps orbité (600 km pour Kerbin).

Attention de bien toujours utiliser les mêmes unités dans une formule. Ne mélangez pas les mètres et les kilomètres, sinon vous trouverez des valeurs complètement fausses. Assurez-vous que votre étage dispose du ${\displaystyle \Delta v}$ nécessaire pour effectuer la manœuvre. Vous pouvez calculer le ${\displaystyle \Delta v}$ disponible en utilisant la formule exposée plus haut.

Si on prend l'exemple d'une orbite de transfert autour de Kerbin, avec ${\displaystyle r_{1}=100km}$ et ${\displaystyle r_{2}=200km}$, on obtient ${\displaystyle \Delta v_{1}=73,65m/s}$ et ${\displaystyle \Delta v_{2}=71,23m/s}$, soit un ${\displaystyle \Delta v}$ total de ${\displaystyle 144,88m/s}$.

Calcul du débit de carburant

Le débit de carburant (fuel flow) représente la quantité de carburant (en masse) brûlée par unité de temps.

Connaissant le ${\displaystyle \Delta v}$ requis pour une poussée et la masse totale du vaisseau avant cette poussée, on peut calculer la masse de carburant nécessaire pour cette poussée.

Calculons d'abord la masse totale du vaisseau une fois la poussée terminée. Pour ce faire, utilisons la forme plus générale de l'équation de Tsiolkovski :

${\displaystyle \Delta v=g\cdot I_{sp}\cdot \ln \left({\frac {m_{\text{initiale}}}{m_{\text{finale}}}}\right)}$

En effet, pour un ${\displaystyle \Delta v}$ fixé, la masse initiale vaut bien sûr la masse totale (avant la poussée). Comme au début de cet article, l'équation calculait le ${\displaystyle \Delta v}$ produit si on consommait tout la carburant disponible, la masse finale était appelée "masse sèche" (fusée sans carburant).

Modifions cette dernière équation pour calculer la masse finale :

${\displaystyle m_{\text{finale}}={\frac {m_{\text{initiale}}}{e^{\frac {\Delta v}{g\cdot I_{sp}}}}}}$

En soustrayant la masse finale à la masse initiale, on obtient directement la masse de carburant nécessaire à la poussée.

Attention que la valeur de ${\displaystyle g}$ (accélération de la pesanteur) n'est pas la même partout mais varie avec l'altitude (${\displaystyle h}$) selon la formule

${\displaystyle g(h)={\frac {\mu }{(R+h)^{2}}}}$

Mais revenons à nos moutons. Nous voulons maintenant savoir quelle sera la durée de la poussée. Pour cela il faut d'abord calculer le débit massique de carburant (mass flow, ${\displaystyle {\dot {m}}}$, en ${\displaystyle kg/s}$) des moteurs :

${\displaystyle {\dot {m}}={\frac {F}{g\cdot I_{sp}}}}$

Où ${\displaystyle F}$ est la force de poussée des moteurs (en newtons) et ${\displaystyle g}$ varie toujours en fonction de l'altitude.

On trouve ensuite la durée (${\displaystyle \Delta t}$) de la poussée en effectuant

${\displaystyle \Delta t={\frac {(m_{\text{initiale}}-m_{\text{finale}})}{\dot {m}}}}$

Notons enfin que les quantités de carburant sont indiquées en litres dans KSB. On peut passer des ${\displaystyle kg}$ en ${\displaystyle l}$ en utilisant la masse volumique du mélange carburant/comburant (liquid fuel/oxidize) qui vaut environ ${\displaystyle 5000kg/m^{3}}$

Vitesse orbitale

Calculer sa vitesse orbitale est assez facile dans le cas d'une orbite circulaire, car alors cette vitesse est constante tout le long de l'orbite. Cette vitesse vaut

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {\mu }{r}}}}$

Où ${\displaystyle r=R+h}$ avec ${\displaystyle h}$, l'altitude de l'orbite.

Encore une fois, attention aux unités. Si vous utilisez les unités standards pour ${\displaystyle \mu }$ (des ${\displaystyle m^{3}/s^{2}}$) ne mettez pas ${\displaystyle r}$ en ${\displaystyle km}$, mais bien en ${\displaystyle m}$, sinon vous obtiendrez une réponse complètement fausse. Vous pouvez transformer toutes vos valeurs en utilisant des kilomètres et, par exemple, des heures, et vous obtiendrez une valeur de ${\displaystyle v}$ en ${\displaystyle km/h}$ au lieu de ${\displaystyle m/s}$. Une façon simple de savoir si tout est correct est de vérifier si vos résultats ont un sens. La vitesse orbitale autour de Kerbin (LKO) est d'environ ${\displaystyle 2km/s}$. Si vous trouvez ${\displaystyle 2000km/s}$ ou ${\displaystyle 2m/s}$, il y a un problème quelque part...

Bilan de delta-v

Un bilan de delta-v consiste à prévoir en gros combien de ${\displaystyle \Delta v}$ sera nécessaire pour se rendre d'un endroit (que ce soit au sol ou en orbite) à un autre. Le ${\displaystyle \Delta v}$ total étant bien sûr la somme des ${\displaystyle \Delta v}$ des différentes phases du vol, avec à chaque fois une marge d'erreur (du ${\displaystyle \Delta v}$ en plus) en cas de fausse manœuvre ou d'imprévu. voici un exemple de bilan de delta-v :

Du pas de tir à une orbite de 100 km	4700 m/s
Injection trans-munaire	900 m/s
Amunissage	1000m/s
Décollage et retour vers Kerbin	1000 m/s
Total ${\displaystyle \Delta v}$	7600 m/s

Si nous concevons notre fusée pour avoir un ${\displaystyle \Delta v}$ total de 7 600 m/s et que l'accélération de notre premier étage est adéquate, nous pouvons être sûrs que notre fusée pourra se poser sur la Mun et revenir sur Kerbin. Si votre fusée compte un peu moins de ${\displaystyle \Delta v}$, elle pourra peut-être accomplir cette mission, mais la moindre erreur de pilotage peut vous faire tomber à court de carburant avant l'atterrissage.

Calcul de l'accélération

→ See also: Thrust-to-weight ratio

Nous allons parler du ratio poussée-poids (thrust-to-weight ratio ou TWR). Le calculer est assez simple et il est capital de le connaître pour savoir si votre fusée sera capable de quitter le pas de tir ou non. Si votre ratio poussée-poids est inférieur à 1, vous ne bougerez pas d'un millimètre. Le ratio poussée-poids minimum pour un départ correct se situe autour de 2,2.

La portance créée par la poussée des moteurs doit dépasser la force de gravité en surface si vous voulez décoller. La formule pour calculer le ratio est simplement la somme de la poussée des moteurs de votre premier étage (ceux qui sont actifs) divisée par le poids de votre fusée, carburant compris.

${\displaystyle F>P=m\cdot g\implies TWR={\frac {F}{P}}={\frac {F}{m\cdot g}}>1}$

Pour calculer l'accélération, utilisez simplement la seconde loi de Newton :

${\displaystyle \sum {\vec {F}}=m\cdot {\vec {a}}=F-P=F-m\cdot g=m\cdot a\implies a={\frac {F}{m}}-g}$

L'accélération est minimale au moment du départ puisque la masse est la plus grande (tous les réservoirs sont pleins) et que ${\displaystyle g}$ est le plus élevé. L'accélération est maximale juste avant de manquer de carburant car la masse est alors minimale. De plus, le gain d'altitude a fait chuter la valeur de ${\displaystyle g}$.

Cette formule est valable uniquement quand le véhicule spatial est soumis à la pesanteur. En orbite, quand le vaisseau est en état d'impesanteur, un ratio poussée-poids inférieur à 1 ne posera pas de problème pour manœuvrer.

Une façon commode d'évaluer la force qui s'exerce sur le vaisseau (et les Kerbonautes) est d'exprimer l'accélération du vaisseau en ${\displaystyle g}$ (g-force en Anglais). Pour se faire, il suffit de diviser l'accélération par ${\displaystyle g_{0}=9,81m/s^{2}}$. Lors d'un vol spatial réel, une force de 2 à 3 ${\displaystyle g}$ s'applique couramment (lors du decollage et de la rentrée atmosphérique, les spationautes pèrent alors 2 à 3 fois leur poids). Un force de 5 ${\displaystyle g}$ devient assez pénible à endurer. Un humain perd facilement connaissance s'il atteint une accélération d'un dizaine de ${\displaystyle g}$.

Notons une fois de plus que le poids depends de la valeur de ${\displaystyle g}$. La valeur du ratio poussée-poids dépend donc du corps orbité et de l'altitude.

Conclusion

Ce tutoriel devrait normalement vous permettre d'accomplir votre mission - quelle qu'elle soit - sans procéder à un grand nombre de tests en vol préalables. Nous espérons que ce guide sera utile aux nouveaux pilotes KSP aussi qu'aux pilotes confirmés.

Crédits

Page originale par Vincent McConnell et Kosmo-not, traduite et completée par Mixoupe.