Tutorial:Whats with all the math?/ja
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門外漢のためのKSP数学
筆者がKSPを始めたのは数ヶ月前。他のプレイヤー達が口にするTWR、ISP、Δv、Ap、離心率などなど数学や物理の専門用語を私は全て理解しようと努力しました。本チュートリアルではこれらの数値が何を意味しているか、なぜ重要なのかを履修経験の無い人向けに短時間で理解できるよう説明していきます。
物理について一言
軌道力学の大部分は直感的にイメージすることが出来ます。プレイヤーの中に宇宙へ行ったことがある人は恐らくいないので、物体がどう動くかのイメージは過去の経験に基づくことになります。歴史的にも物理学では経験によるイメージが大きな争点になってきました。because we had to think in ways that were different from our intuition to really understand how planets moved. 多くのチュートリアルではニュートンの功績を研究することを奨励していますが、本チュートリアルでは基本的な概念のみ解説していきます。本チュートリアルでは厳密な正確さではなく直感的なわかりやすさを念頭に置いていることを理解して置いてください。
速度・速さ・摩擦・加速
まず車を時速70マイル(約113km/h)で運転しているとしましょう。ギアをニュートラルにしたら車は減速してやがて止まるでしょう。速度を維持するためにアクセルを吹かし続けないといけないことを私たちは直感的にイメージできます。これは摩擦が働くとわかっているからです。車の例では地面との摩擦や空気抵抗が働きます。アクセルが前進させる力だとしたら摩擦は後退させる力と考えることが出来ます。ニュートラルでは摩擦の後退させる力のみが残り、車はいずれ停止します。
宇宙空間では摩擦を発生させる地面も空気もありません。そのため後退させる力も働きません。星が一切無い仮想の宇宙空間では車は永遠にどこまでも直進し続けるでしょう。これは力が加わらない限り静止している物は静止し続け、運動しているものは同じ運動を続ける、というニュートンの法則のひとつから来ています。地球上では摩擦の後退させる力とアクセルの前進させる力が働いています。
「速度」は、「速さ」と移動方向の両方をまとめて指しています。そのため同じ「速さ」で旋回していても「速度」は変化しているということになります。Think about making a 90-degree turn in a car, you have to push the gas pedal down during the turn. 加速は速度の変化を指しているだけです。そのため物理学で「加速している」といえば、速さが変化しているか、移動方向が変化しているか、その両方を指しています。 Note for the interested readers: There is an important mathematical relationship between position, velocity, and acceleration. In fact, the exploration of this relationship by Isaac Newton and Gottfried Leibniz lead to the invention of what we math people now call Calculus.
軌道力学
- → 参照： Orbit
Kerbal Space Programをプレイするとなると、かなりの時間を軌道に費やすことになるでしょう。軌道上での動きを理解できるように、「思考実験」をしておきましょう。屋外で実演しても構いません。ひもが付いたボールを想像して下さい。ひもを持ちグルグルと素早く振り回したとします。するとボールはあなたの周りに「軌道」を描きます。KSPの場合は、ひもの代わりに重力が宇宙船を天体に引き寄せようとします。
完全な円の軌道にいる宇宙船に視点を移すと、宇宙船の速さは変わらずずっと一定です。(進行方向が変わり続けているため速度は変化しています。)天体は真下に引き寄せ続けていますが、宇宙船も十分な速さで直進しようとするため円を描いて飛行します。実際には宇宙船も落下し続けていますが、それと同じだけ遠ざかり続けているのです。Readers are encouraged to convince themselves of this, it is easier to see in a highly eccentric orbit than in a circular orbit, more on that later. In KSP, as long as you are in a well behaved orbit (not on an escape trajectory, not going to crash into the surface, completely above the atmosphere), your orbit will never change. You will keep moving in the same path forever. In the real world, it's not quite that simple, but that is outside the scope of this explanation.
軌道速度
他の天体が影響しない安定した軌道では、宇宙船の速度(速さと移動方向)は軌道上の位置のみに依存します。これを理解することは驚くほど重要なことなので、いくつか説明を加えます。右の図の大きな楕円軌道を見てください。エンジンを使用しなければ、一周して同じ地点に来た時の速さは同じになります。
離心率
離心率は軌道の形状を表す数値です。離心率は数値が0に近いほど真円の軌道を表し、楕円軌道は0～1の間の数値になります。右の画像では円軌道が0、楕円軌道がだいたい1/2の離心率を持っています。1以上の離心率は放物線または双曲線を表します。つまり周回軌道にはならず天体の重力圏を脱出してしまい、戻ってくることはありません。
宇宙機動
- → 参照： Basic maneuvers
図のA地点で矢印の方向(順行、進行方向)へ機首を向けて一定時間エンジンを燃焼させるとします。実際には、燃焼時間の間にも機体は移動してA地点からずれていきますが、計算が複雑になるので燃焼は一瞬で終了するものとします。ではA地点で一定量加速します。加速は一瞬で機体はまだA地点にいるので、軌道を一周してまたA地点まで戻りましょう。しかし軌道の反対側は遠ざかっており、離心率も高くなっています。ここで重要なのはA地点で加速して速度が変化したことです。これにより軌道の形が変わりました。元の速度を10,000 m/s(10 km/s)、加速後を10,200 m/sとしましょう。速度変化は200 m/sで、これをΔv(デルタブイ)と言います!
それがどうした?
ここまで読んだところで、あなたは「これが宇宙へ行く事にどう役立つのさ!?」とお思いでしょう。ここからは正にそれを説明していきます!
なぜΔvが大事なの?
At this point, we have a rough idea of what Δv is, and Δv is probably the most important thing to understand. ここまでロケットの速さや軌道について話して来ましたが、ロケットの質量について一切触れてこなかったことに注目してください。あなたは小さな衛星かスペースプレーンか巨大ロケットかわからなくとも、速度に依存して軌道が変化することを知っているのです! それがΔvが重要な理由で、どんな設計のロケットであろうと宇宙空間の2地点の移動に必要なΔvは同じなのです。さらにKerbin周回軌道に到達するには約4600 Δvが必要で、上昇用ステージにそれだけのΔvを発生させるだけのがあれば宇宙へ到達することができるのです!
Δvの決定
本チュートリアルは数学知識の無い人に向けたものなのでΔvの算出方法には触れません。より深い理解を求めたい人はtutorialsやequationsを参照してください。おそらくリンクを参照して長く複雑な式を見たところで、多くの人は興味が失せたり学生時代の数学トラウマが再発したりして、途中で読むのをやめるでしょうが問題ありません。ここでは単純にΔvが何に依存しているか、that is, what effect does building a rocket in one way or another impact Δv?
各ステージのΔvを表示するMODがいくつかあり筆者も利用していますが、本チュートリアルはバニラ(無改造)のKSPを対象としているためここでは触れません。There are also mods that will do your entire take-off, gravity turn, and all your orbital maneuvers for you. While these can be fun, I personally do not believe in using them outside of sandbox mode for experimental purposes, since the point of playing the game is learning for me.
推力と推力重量比(TWR)
- → 参照： Thrust-to-weight ratio
推力(Thrust)とはエンジンが機体を押す力の大きさのことです。車のアクセルで前進、摩擦で後退の力が働くと言う例え話は覚えていますか? ロケットでも同じことが起こります。推力は基本的にKerbin地表からの上昇しやすさと言ってよいでしょう。
重い物を持ち上げるのは軽い物より大変なのはあなたも知っているでしょう。もし信じられないと言うなら、紙1枚を床から頭の上に持ち上げた後、ソファなど重たい家具で同じことをしてください。ソファの方が大変ですよ。同じことがロケット科学の世界でも言え、重いロケットの方が軽いロケットより上昇するのが困難です! これが推力重量比の重要性を表しており、エンジンが機体を持ち上げようとすると重力が機体を押し下げようとします。腕相撲では押す力が強いほうが勝つことは知っているでしょう。ロケットの重さは重力となってロケットを押し下げます。そのためロケットの推力は重力よりも強い力で押し上げなければ宇宙へは辿り着けません。推力重量比が1未満の場合は重力が勝つことを意味します。推力重量比が1より大きければロケットの推力が勝ち、一定の位置で浮遊し続けることはありません。しかし一度安定した軌道に到達していれば、1未満の推力重量比でも速度調整を行うことができます。
発展(高度な読者向け)
推力重量比は飛行中に刻々と変化します。燃料を消費すれば機体は軽くなり、重量が減ることで推力重量比は向上します。また推力重量比は天体の重力によっても変化します。そのため同じロケットでも重力の強いEveではKerbinより推力重量比が悪化します。
で、どのエンジンを使うべきなの? 比推力(ISP)って何?
- → 参照： Specific impulse
それでは比推力の説明に移りましょう。基本的に燃費の良さを表していると言っておきましょう。比推力の高いエンジンは同じ燃料量でも比推力の低いエンジンより多くのΔvを得ることができます。しかし同時に推力も確認してください。時間がかかっても多くのΔvが必要なのか、Δvが少なくとも瞬間的な推力が必要なのか判断する必要があります。
例
LV-909エンジンの比推力は1気圧で300、真空中で390です。"Mainsail"エンジンの比推力は1気圧で320、真空中で360です。これは些細な差に思われるかもしれません。しかし、Mainsailの推力は1500、LV-909の推力は50です。そのためLV-909の加速は非常に緩やかなものとなります。地表から軌道に上がる場合などでは比推力よりも十分な推力の方が重要になります。
固体燃料ブースターってどうなの?
- → 参照： SRB
筆者が初めてMinmus周回軌道に到達した時のロケットは50基の固体燃料ブースターを使っていました。しかしこの手法はお勧めできません。まず第1にversion0.24からパーツにコストが掛かるようになったので効率は重要です。第2に十分な着陸脚を設置するのが非常に困難です。第3に操縦が非常に難しく重力ターンも非常に非効率的なものになってしまいました。I only mention this because a common part of the learning curve for new players is to add more SRB's and more struts when we have trouble reaching orbit.
固体燃料ブースターにより推力を追加できますが同時に重量も増加します。そのため、追加するほどその価値は目減りします。また固体燃料ブースターは点火するしか操作が無く、一度点火すると燃料が空になるまで燃焼し続けます。そのため離陸ステージとしては最適ですが宇宙空間ではより細かい制御ができる必要があります。したがってロケットが軌道投入できない場合に側面にいくつか固体燃料ブースターを付け加えるのが正しい使い方でしょう。Careerモードでより良いエンジンが開発されている場合は無理に使用し続ける必要は無いでしょう。
最後に
本チュートリアルでそれぞれの数値が何を意味しているのかを入門として正しく伝えられたことを願っています。また同時に様々なロケットを設計し、より厳密な数学的理解を継続的に深めていくことを筆者はお勧めします。これはあくまでゲームを始めるためのスタートラインに過ぎません。
